Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Navarra · 2023

(A) Define frecuencia umbral y trabajo de extracción. Explica la siguiente representación gráfica. (1,5 puntos)



(B) En un experimento sobre el efecto fotoeléctrico se construye un circuito ideal de corriente continua con un tubo de vacío con dos placas metálicas en su interior conectadas a una pila. Si se ilumina el cátodo metálico con luz monocromática de 250 nm, se observa que hay paso de corriente. Si invertimos la polaridad de la pila, se invierte el sentido del campo eléctrico en el interior del tubo. Al ir variando el voltaje de la pila, se observa que, cuando esta son 2 voltios, el amperímetro no marca paso de corriente.

a) ¿Cuál es la función de trabajo? (0,25 puntos)
b) ¿Cuál es la frecuencia umbral del cátodo? (0,25 puntos)
c) ¿Qué voltaje debe tener la pila para que se anule la corriente cuando se ilumina el cátodo con una luz de $10^{15}$ Hz? (0,5 puntos)

Datos: $h = 6{,}626\cdot 10^{-34}\ J/s$; $q_{\text{electrón}} = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ C$; $c = 3\cdot 10^{8}\ m/s$

$\textbf{(A) Define frecuencia umbral y trabajo de extracción. Explica la siguiente representación gráfica. (1,5 puntos)}$

El $\textbf{trabajo de extracción}$ $W_0$ es la energía mínima que hay que comunicar a un electrón para arrancarlo del metal. Es una característica de cada material.

La $\textbf{frecuencia umbral}$ $f_0$ es la frecuencia mínima que ha de tener la radiación incidente para que se produzca efecto fotoeléctrico. Como cada fotón entrega toda su energía a un solo electrón, esa energía tiene que bastar para el trabajo de extracción:

$W_0=h\,f_0$

La gráfica representa la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$E_{c,\max}=h\,f-W_0$

Por debajo de $f_0$ no hay emisión y la gráfica es una recta horizontal sobre el eje: por muy intensa que sea la luz, ningún fotón tiene energía suficiente y no sale ningún electrón. A partir de $f_0$ la energía cinética máxima crece linealmente con la frecuencia, y la recta tiene dos lecturas inmediatas: su $\textbf{pendiente es la constante de Planck}$ y su corte con el eje horizontal es la frecuencia umbral. Prolongada hacia atrás, cortaría el eje vertical en $-W_0$.

Obsérvese que la energía cinética no depende de la intensidad de la luz, sino solo de su frecuencia: eso es lo que la física clásica no podía explicar.

$\textbf{a) ¿Cuál es la función de trabajo? (0,25 puntos)}$



Que la corriente se anule al aplicar 2 V en sentido contrario significa que ese es el potencial de frenado: los electrones más rápidos llegan al otro electrodo justo con velocidad nula.

$e\,V_f=E_{c,\max}$

$E_{c,\max}=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2=3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{J}$

La energía del fotón incidente es:

$E=\dfrac{h\,c}{\lambda}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{250\cdot10^{-9}}=7{,}95\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y por la ecuación de Einstein:

$W_0=E-E_{c,\max}=7{,}95\cdot10^{-19}-3{,}2\cdot10^{-19}$

$W_0=4{,}75\cdot10^{-19}\ \text{J}=2{,}97\ \text{eV}$

$\textbf{b) ¿Cuál es la frecuencia umbral del cátodo? (0,25 puntos)}$

$f_0=\dfrac{W_0}{h}=\dfrac{4{,}75\cdot10^{-19}}{6{,}626\cdot10^{-34}}$

$f_0=7{,}17\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

La frecuencia umbral del cátodo es de $7{,}17\cdot10^{14}\ \text{Hz}$, que corresponde a una longitud de onda umbral de unos 418 nm, ya en el visible.

$\textbf{c) ¿Qué voltaje debe tener la pila para que se anule la corriente cuando se ilumina el cátodo con una luz de } \boldsymbol{10^{15}}\textbf{ Hz? (0,5 puntos)}$

Con la nueva frecuencia la energía cinética máxima es:

$E_{c,\max}=h\,f-W_0=6{,}626\cdot10^{-34}\cdot10^{15}-4{,}75\cdot10^{-19}$

$E_{c,\max}=1{,}87\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y el potencial de frenado correspondiente:

$V_f=\dfrac{E_{c,\max}}{e}=\dfrac{1{,}87\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}$

$V_f=1{,}17\ \text{V}$

Basta con $1{,}17\ \text{V}$: la luz de $10^{15}\ \text{Hz}$ es menos energética que la de 250 nm, así que los electrones salen más despacio y cuesta menos frenarlos.