Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Navarra · 2023

Queremos utilizar una lente de focal 20 cm para obtener una imagen de tamaño el doble de un objeto. Donde estará colocado el objeto y la imagen:

a) Si queremos que la imagen sea derecha. (0,5 puntos)
b) Si queremos que la imagen sea invertida. (0,5 puntos)
c) Realiza el trazado de rayos, a escala, en las dos situaciones anteriores. (0,5 puntos)

Si ahora utilizamos una lente divergente con el mismo valor de distancia focal y queremos que el tamaño de la imagen sea la mitad, ¿es posible obtener una imagen derecha? ¿Es posible obtener una imagen invertida? En caso afirmativo, calcula las posiciones del objeto y la imagen. (1 punto)

$\textbf{a) Si queremos que la imagen sea derecha. (0,5 puntos)}$



Que la imagen sea derecha y del doble de tamaño significa que el aumento lateral es positivo:

$\beta=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}=+2\Rightarrow s'=2\,s$

Se lleva a la ecuación de las lentes delgadas.

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}$

$\dfrac{1}{2s}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{20}\Rightarrow -\dfrac{1}{2s}=\dfrac{1}{20}$

$s=-10\ \text{cm}\qquad s'=-20\ \text{cm}$

El objeto está a $10\ \text{cm}$ de la lente, es decir, entre el foco y la lente, y la imagen se forma $20\ \text{cm}$ delante de ella, del mismo lado que el objeto: es virtual, derecha y del doble de tamaño.

$\textbf{b) Si queremos que la imagen sea invertida. (0,5 puntos)}$

Ahora el aumento es negativo:

$\beta=\dfrac{s'}{s}=-2\Rightarrow s'=-2\,s$

$-\dfrac{1}{2s}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{20}\Rightarrow -\dfrac{3}{2s}=\dfrac{1}{20}$

$s=-30\ \text{cm}\qquad s'=60\ \text{cm}$

El objeto está a $30\ \text{cm}$, entre el foco y el doble de la distancia focal, y la imagen se forma $60\ \text{cm}$ detrás de la lente: es real, invertida y del doble de tamaño.

$\textbf{c) Realiza el trazado de rayos, a escala, en las dos situaciones anteriores. (0,5 puntos)}$

El primer caso, con el objeto dentro de la distancia focal, es el de la figura del apartado a): los rayos emergentes divergen y la imagen la forman sus prolongaciones. El segundo caso es este:



$\textbf{Si ahora utilizamos una lente divergente con el mismo valor de distancia focal y queremos que el tamaño de la imagen sea la mitad, ¿es posible obtener una imagen derecha? ¿Es posible obtener una imagen invertida? En caso afirmativo, calcula las posiciones del objeto y la imagen. (1 punto)}$

La lente es ahora divergente, de modo que su distancia focal imagen es negativa:

$f'=-20\ \text{cm}$

$\textbf{Imagen derecha}$, con $\beta=+1/2$, es decir, $s'=s/2$:

$\dfrac{2}{s}-\dfrac{1}{s}=-\dfrac{1}{20}\Rightarrow \dfrac{1}{s}=-\dfrac{1}{20}$

$s=-20\ \text{cm}\qquad s'=-10\ \text{cm}$

Sí es posible: el objeto a $20\ \text{cm}$ de la lente y la imagen virtual a $10\ \text{cm}$, del mismo lado.

$\textbf{Imagen invertida}$, con $\beta=-1/2$, es decir, $s'=-s/2$:

$-\dfrac{2}{s}-\dfrac{1}{s}=-\dfrac{1}{20}\Rightarrow -\dfrac{3}{s}=-\dfrac{1}{20}$

$s=+60\ \text{cm}$

La abscisa del objeto sale positiva, lo que significa que tendría que estar $\textbf{detrás}$ de la lente: sería un objeto virtual, no un objeto real. Con un objeto real la respuesta es que $\textbf{no es posible}$.

Y es un resultado general: una lente divergente da siempre, para objetos reales, una imagen virtual, derecha y menor. Así lo muestra el trazado de rayos: