Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Navarra · 2023

En una región del espacio hay un campo eléctrico de $\vec{E} = 20\,\dfrac{V}{m}\,\vec{\imath}$. Dados los puntos $A = (0,0)$ m y $B = (4,0)$ m:

a) ¿En cuál de los dos puntos anteriores el potencial es mayor? Hallar la diferencia de potencial entre A y B. (1 punto)
b) Si soltamos una partícula de carga $q = 10^{-9}\ \text{C}$ y masa $m = 10^{-10}\ \text{kg}$ en el punto $A = (0,0)$ m con una velocidad $\vec{v} = 10\ \text{m/s}\ \vec{\imath}$, ¿cuánto vale el vector aceleración de la partícula? ¿Con qué velocidad llegará al punto B? (1,5 puntos)

$\textbf{a) ¿En cuál de los dos puntos anteriores el potencial es mayor? Hallar la diferencia de potencial entre A y B. (1 punto)}$



El campo eléctrico apunta siempre hacia los potenciales decrecientes. Como aquí va en el sentido positivo del eje X, el potencial disminuye al avanzar en ese sentido, y por tanto:

$V_A>V_B$

En un campo uniforme la diferencia de potencial es el producto del campo por la distancia medida en su dirección:

$V_A-V_B=E\cdot d=20\cdot4$

$V_A-V_B=80\ \text{V}$

El potencial es mayor en $A$, y la diferencia entre los dos puntos es de $80\ \text{V}$.

$\textbf{b) Si soltamos una partícula de carga } \boldsymbol{q = 10^{-9}\ \text{C}}\textbf{ y masa } \boldsymbol{m = 10^{-10}\ \text{kg}}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{A = (0,0)}\textbf{ m con una velocidad } \boldsymbol{\vec{v} = 10\ \text{m/s}\ \vec{\imath}}\textbf{, ¿cuánto vale el vector aceleración de la partícula? ¿Con qué velocidad llegará al punto B? (1,5 puntos)}$

La única fuerza es la eléctrica, y por la segunda ley de Newton:

$\vec a=\dfrac{\vec F}{m}=\dfrac{q\,\vec E}{m}=\dfrac{10^{-9}\cdot20\,\vec\imath}{10^{-10}}$

$\vec a=200\,\vec\imath\ \text{m/s}^2$

La aceleración vale $200\ \text{m/s}^2$ y va en el sentido positivo del eje X: la carga es positiva, así que la fuerza tiene el mismo sentido que el campo y la partícula se acelera hacia $B$.

Para la velocidad final se aplica la conservación de la energía, sin olvidar que la partícula ya parte con velocidad:

$\dfrac12\,m\,v_B^2=\dfrac12\,m\,v_A^2+q\,(V_A-V_B)$

$v_B=\sqrt{v_A^2+\dfrac{2\,q\,(V_A-V_B)}{m}}=\sqrt{10^2+\dfrac{2\cdot10^{-9}\cdot80}{10^{-10}}}$

$v_B=\sqrt{100+1.600}=41{,}2\ \text{m/s}$

La partícula llega a $B$ con una velocidad de $41{,}2\ \text{m/s}$. Se llega al mismo resultado con la cinemática del movimiento uniformemente acelerado:

$v_B^2=v_A^2+2\,a\,d=100+2\cdot200\cdot4=1.700$