Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2023

Una onda sonora, que suponemos armónica, se propaga con una velocidad de 330 m/s en el sentido positivo del eje X. La frecuencia es de 10 kHz y la amplitud de oscilación de las moléculas del medio es de $2\cdot 10^{-4}\ \text{m}$. En el instante inicial, la elongación en el origen es de $1\cdot 10^{-4}\ \text{m}$, y su velocidad es negativa. Hallar:

a) Periodo, longitud de onda y la expresión matemática de la onda. (1,5 punto)
b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia 0,0165 m? (0,5 puntos)
c) Hallar la velocidad de vibración del origen en $t = 5\cdot 10^{-4}$ s. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Periodo, longitud de onda y la expresión matemática de la onda. (1,5 punto)}$



El periodo es la inversa de la frecuencia y la longitud de onda se obtiene de la velocidad de propagación:

$T=\dfrac1f\qquad \lambda=\dfrac{v}{f}$

Se pasa antes la frecuencia a hercios:

$f=10\ \text{kHz}=10^{4}\ \text{Hz}$

$T=\dfrac{1}{10^{4}}=10^{-4}\ \text{s}$

$\lambda=\dfrac{330}{10^{4}}=0{,}033\ \text{m}$

Se calculan las constantes de la ecuación de onda:

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot10^{4}=6{,}28\cdot10^{4}\ \text{rad/s}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{0{,}033}=190{,}4\ \text{rad/m}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje X:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

La fase inicial sale de las dos condiciones del enunciado. La primera, sobre la elongación en el origen en $t=0$:

$2\cdot10^{-4}\operatorname{sen}\varphi_0=1\cdot10^{-4}\Rightarrow \operatorname{sen}\varphi_0=\dfrac12$

$\varphi_0=\dfrac{\pi}{6}\ \text{rad}\quad\text{o bien}\quad \varphi_0=\dfrac{5\pi}{6}\ \text{rad}$

La segunda condición, que la velocidad sea negativa, decide entre las dos:

$v_y(0,0)=A\,\omega\cos\varphi_0<0\Rightarrow \cos\varphi_0<0\Rightarrow \varphi_0=\dfrac{5\pi}{6}\ \text{rad}$

$y(x,t)=2\cdot10^{-4}\operatorname{sen}\left(2\pi\cdot10^{4}\,t-190{,}4\,x+\dfrac{5\pi}{6}\right)\ \text{m}$

$\textbf{b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia 0,0165 m? (0,5 puntos)}$

$\Delta\varphi=k\,\Delta x=190{,}4\cdot0{,}0165=\pi\ \text{rad}$

Los dos puntos vibran desfasados $\pi$ radianes, es decir, en oposición de fase. Era previsible sin calcular nada: esa distancia es exactamente media longitud de onda.

$\textbf{c) Hallar la velocidad de vibración del origen en } \boldsymbol{t = 5\cdot 10^{-4}}\textbf{ s. (0,5 puntos)}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

En el origen, $x=0$, y con el instante pedido:

$\omega\,t=2\pi\cdot10^{4}\cdot5\cdot10^{-4}=10\pi\ \text{rad}$

$v_y=2\cdot10^{-4}\cdot2\pi\cdot10^{4}\cos\left(10\pi+\dfrac{5\pi}{6}\right)=12{,}57\cdot\cos\dfrac{5\pi}{6}$

$v_y=-10{,}9\ \text{m/s}$

La velocidad de vibración del origen en ese instante es de $-10{,}9\ \text{m/s}$: la misma que tenía en el instante inicial, porque han transcurrido exactamente cinco periodos completos.