Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite de 400 kg orbita a una distancia de $4\cdot 10^{6}\ \text{m}$ de la superficie terrestre en una órbita circular. Hallar:

a) Velocidad del satélite. (0,5 puntos)
b) Energía mecánica del satélite. (1 punto)
c) Debido a rozamientos, el satélite pasa a una órbita menor de valor $3\cdot 10^{6}\ \text{m}$ de la superficie terrestre. Hallar el porcentaje en el que varía su velocidad y su energía, indicando si aumenta o disminuye. (1 punto)

Datos: $R_{\text{Tierra}} = 6.370\ \text{km}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}$

$\textbf{a) Velocidad del satélite. (0,5 puntos)}$










La atracción gravitatoria terrestre es la única fuerza sobre el satélite y hace de fuerza centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$

El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra, así que hay que sumar el radio terrestre.





$r=R_T+h=6{,}37\cdot10^{6}+4\cdot10^{6}=1{,}037\cdot10^{7}\ \text{m}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{1{,}037\cdot10^{7}}}=6{,}20\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

El satélite orbita a $6{,}20\ \text{km/s}$.

$\textbf{b) Energía mecánica del satélite. (1 punto)}$

En una órbita circular la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial, de modo que:

$E=E_c+E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}$

$E=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot400}{2\cdot1{,}037\cdot10^{7}}=-7{,}68\cdot10^{9}\ \text{J}$

La energía mecánica del satélite es de $-7{,}68\cdot10^{9}\ \text{J}$.

$\textbf{c) Debido a rozamientos, el satélite pasa a una órbita menor de valor } \boldsymbol{3\cdot 10^{6}\ \text{m}}\textbf{ de la superficie terrestre. Hallar el porcentaje en el que varía su velocidad y su energía, indicando si aumenta o disminuye. (1 punto)}$

El nuevo radio orbital es:

$r'=6{,}37\cdot10^{6}+3\cdot10^{6}=9{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$

$v'=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{9{,}37\cdot10^{6}}}=6{,}52\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

$\dfrac{v'-v}{v}\cdot100=\dfrac{6{,}52\cdot10^{3}-6{,}20\cdot10^{3}}{6{,}20\cdot10^{3}}\cdot100=+5{,}20\ \%$

La velocidad $\textbf{aumenta}$ un $5{,}20\ \%$.

$E'=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot400}{2\cdot9{,}37\cdot10^{6}}=-8{,}50\cdot10^{9}\ \text{J}$

$\dfrac{E'-E}{|E|}\cdot100=\dfrac{-8{,}50\cdot10^{9}+7{,}68\cdot10^{9}}{7{,}68\cdot10^{9}}\cdot100=-10{,}7\ \%$

La energía mecánica $\textbf{disminuye}$ un $10{,}7\ \%$, es decir, se hace más negativa.

Puede parecer contradictorio que el rozamiento acelere el satélite, pero es lo que ocurre en una órbita: al perder energía el satélite baja, y al bajar la energía potencial disminuye más de lo que aumenta la cinética. Es la llamada paradoja del satélite.