Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Navarra · 2024

Tenemos 8 g de una muestra radiactiva de ${}^{131}_{53}\text{I}$ cuya vida media 8,02 días. Se desintegra emitiendo radiación $\beta^{-}$ y se transforma en $\text{Xe}$:

a) Escribe la ecuación de desintegración. (0,5 puntos)
b) Calcular el periodo de semidesintegración y la constante radiactiva. (0,75 puntos)
c) Calcula la masa al cabo de 3 días. (0,75 puntos)
d) ¿Cuál será su actividad al cabo de esos 3 días? (0,5 puntos)

Dato: número de Avogadro $= 6{,}02\cdot 10^{23}$

$\textbf{a) Escribe la ecuación de desintegración. (0,5 puntos)}$



En una desintegración $\beta^-$ un neutrón del núcleo se transforma en un protón, emitiendo un electrón y un antineutrino. El número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad.

${}^{131}_{53}\text{I}\ \longrightarrow\ {}^{131}_{54}\text{Xe}+{}^{\ 0}_{-1}e+\bar\nu$

El yodo 131 se convierte, en efecto, en xenón 131.

$\textbf{b) Calcular el periodo de semidesintegración y la constante radiactiva. (0,75 puntos)}$

La vida media es el tiempo de vida promedio de un núcleo y es la inversa de la constante radiactiva:

$\tau=\dfrac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{1}{8{,}02}=0{,}125\ \text{días}^{-1}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en quedar la mitad de los núcleos:

$T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\dfrac{0{,}6931}{0{,}125}=5{,}56\ \text{días}$

La constante radiactiva vale $0{,}125\ \text{días}^{-1}$ y el periodo de semidesintegración, $5{,}56$ días.

$\textbf{c) Calcula la masa al cabo de 3 días. (0,75 puntos)}$

La masa sin desintegrar es proporcional al número de núcleos, así que sigue la misma ley exponencial:

$m=m_0\,e^{-\lambda t}=8\,e^{-0{,}125\cdot3}$

$m=8\cdot0{,}6879=5{,}50\ \text{g}$

Al cabo de tres días quedan $5{,}50\ \text{g}$ de yodo 131.

$\textbf{d) ¿Cuál será su actividad al cabo de esos 3 días? (0,5 puntos)}$

Primero se cuenta cuántos núcleos son esos gramos, con el número de Avogadro y el número másico del isótopo:

$N=\dfrac{5{,}50}{131}\cdot6{,}02\cdot10^{23}=2{,}53\cdot10^{22}\ \text{núcleos}$

La actividad es el número de desintegraciones por segundo, de modo que la constante radiactiva hay que pasarla a $\text{s}^{-1}$:

$\lambda=\dfrac{0{,}125}{86.400}=1{,}44\cdot10^{-6}\ \text{s}^{-1}$

$A=\lambda\,N=1{,}44\cdot10^{-6}\cdot2{,}53\cdot10^{22}$

$A=3{,}65\cdot10^{16}\ \text{Bq}$

La actividad a los tres días es de $3{,}65\cdot10^{16}\ \text{Bq}$, una cifra enorme porque ocho gramos contienen del orden de $10^{22}$ núcleos.