Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2024

La figura representa la velocidad para una onda armónica transversal de amplitud 10 m que se propaga en el sentido positivo del eje X en el instante inicial ($t = 0$). Hallar:

a) Periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. (1 punto)
b) Ecuación que representa la función de onda. (1 punto)
c) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos puntos separados 2 m? (0,5 puntos)

$\textbf{a) Periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. (1 punto)}$



La gráfica del enunciado no representa la elongación, sino la $\textbf{velocidad de vibración}$ de cada punto en el instante inicial. De ella se leen directamente dos datos: su valor máximo y la distancia entre dos puntos que se repiten, que es la misma longitud de onda de la onda.

$v_{\max}=40\ \text{m/s}\qquad \lambda=3{,}2\ \text{m}$

La velocidad máxima de vibración de un movimiento armónico simple es $v_{\max}=A\,\omega$, y la amplitud la da el enunciado:

$\omega=\dfrac{v_{\max}}{A}=\dfrac{40}{10}=4\ \text{rad/s}$

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{4}=1{,}57\ \text{s}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{3{,}2}=1{,}96\ \text{rad/m}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{4}{1{,}96}=2{,}04\ \text{m/s}$

El periodo es de $1{,}57\ \text{s}$, la longitud de onda de $3{,}2\ \text{m}$ y la onda avanza a $2{,}04\ \text{m/s}$. Conviene no confundir esta velocidad de propagación con los 40 m/s a los que llega a vibrar cada punto.

$\textbf{b) Ecuación que representa la función de onda. (1 punto)}$

La onda se propaga en el sentido positivo del eje X, así que:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

La velocidad de vibración es su derivada respecto del tiempo:

$v_y(x,t)=A\,\omega\cos(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

En el instante inicial, y según la gráfica, en $x=0$ la velocidad es nula y crece al aumentar $x$:

$v_y(0,0)=40\cos\varphi_0=0\Rightarrow \varphi_0=\pm\dfrac{\pi}{2}$

De los dos valores hay que quedarse con el que hace crecer la curva justo después del origen, que es:

$\varphi_0=\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

En efecto, con esa fase $v_y(x,0)=40\operatorname{sen}(k\,x)$, que es nula en el origen y sube hasta su máximo en $x=\lambda/4=0{,}8\ \text{m}$, tal y como muestra la gráfica.

$y(x,t)=10\operatorname{sen}\left(4\,t-1{,}96\,x+\dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{m}$

$\textbf{c) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos puntos separados 2 m? (0,5 puntos)}$

La diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia $\Delta x$ en el mismo instante es:

$\Delta\varphi=k\,\Delta x$

$\Delta\varphi=1{,}96\cdot2=3{,}93\ \text{rad}$

Los dos puntos vibran desfasados $3{,}93\ \text{rad}$, algo más de media oscilación.