Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

a) Hallar la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Marte. (0,75 puntos)
b) ¿Hasta qué altura llegará un objeto lanzado a 2,5 km/s desde la superficie de Marte? (1 punto)
c) Si el radio de su órbita alrededor del Sol es $2{,}28\cdot 10^{8}\ \text{km}$, ¿cuánto durará un año marciano? (0,75 puntos)

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Sol}} = 1{,}989\cdot 10^{30}\ \text{kg}$; $M_{\text{Marte}} = 6{,}42\cdot 10^{23}\ \text{kg}$; $R_{\text{Marte}} = 3{,}4\cdot 10^{6}\ \text{m}$

$\textbf{a) Hallar la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Marte. (0,75 puntos)}$










La intensidad del campo gravitatorio creado por un planeta esférico en su superficie es:

$g=G\dfrac{M}{R^2}$

y coincide con la aceleración con la que cae allí cualquier cuerpo, sea cual sea su masa.





$g=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}42\cdot10^{23}}{(3{,}4\cdot10^{6})^2}=3{,}70\ \text{m/s}^2$

En la superficie de Marte la gravedad vale $3{,}70\ \text{m/s}^2$, algo más de un tercio de la terrestre.

$\textbf{b) ¿Hasta qué altura llegará un objeto lanzado a 2,5 km/s desde la superficie de Marte? (1 punto)}$

La altura que va a alcanzar es de cientos de kilómetros, de modo que la gravedad no se puede considerar constante y hay que usar la expresión general de la energía potencial. Como el campo es conservativo, la energía mecánica se conserva entre la superficie y el punto más alto, donde la velocidad se anula:

$\dfrac12\,m\,v_0^2-G\dfrac{M\,m}{R}=-G\dfrac{M\,m}{R+h}$

La masa del objeto se simplifica:

$\dfrac{v_0^2}{2}-\dfrac{G\,M}{R}=-\dfrac{G\,M}{R+h}$

Se pasa la velocidad a unidades del Sistema Internacional y se calcula el producto $G\,M$:

$v_0=2{,}5\ \text{km/s}=2{,}5\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

$G\,M=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}42\cdot10^{23}=4{,}28\cdot10^{13}$

$R+h=\dfrac{4{,}28\cdot10^{13}}{\dfrac{4{,}28\cdot10^{13}}{3{,}4\cdot10^{6}}-\dfrac{(2{,}5\cdot10^{3})^2}{2}}=4{,}52\cdot10^{6}\ \text{m}$

$h=4{,}52\cdot10^{6}-3{,}4\cdot10^{6}=1{,}12\cdot10^{6}\ \text{m}$

El objeto sube $1{,}12\cdot10^{6}\ \text{m}$, es decir, unos $1.122\ \text{km}$ sobre la superficie marciana.

$\textbf{c) Si el radio de su órbita alrededor del Sol es } \boldsymbol{2{,}28\cdot 10^{8}\ \text{km}}\textbf{, ¿cuánto durará un año marciano? (0,75 puntos)}$

Ahora es el Sol quien atrae a Marte, y esa atracción hace de fuerza centrípeta de su órbita. Se llega a la tercera ley de Kepler:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M_{\text{Sol}}}}$

Se pasa el radio de la órbita a metros:

$r=2{,}28\cdot10^{8}\ \text{km}=2{,}28\cdot10^{11}\ \text{m}$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{(2{,}28\cdot10^{11})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}989\cdot10^{30}}}=5{,}94\cdot10^{7}\ \text{s}$

Se pasa el resultado a unidades más manejables:

$T=\dfrac{5{,}94\cdot10^{7}}{86.400}=687\ \text{días}$

El año marciano dura $687$ días terrestres, es decir, $1{,}88$ años.