Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2024

Una onda plana longitudinal y armónica se propaga en sentido positivo del eje X con una velocidad de 2,5 km/s, siendo su longitud de onda 20 cm. En el punto $x = 0$ la elongación es máxima en el instante $t = 4\cdot 10^{-5}\ \text{s}$ y su valor es 0,5 mm. Hallar:

a) Expresión matemática de la onda. (1,5 puntos)
b) Elongación, velocidad y aceleración en el punto $x = 1\ \text{m}$ en el instante $t = 4\cdot 10^{-5}\ \text{s}$. (1 punto)

$\textbf{a) Expresión matemática de la onda. (1,5 puntos)}$



Se parte de la ecuación general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X:

$y(x,t)=A\cos(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

y se identifican una a una las constantes con los datos del enunciado.

Se pasa todo a unidades del Sistema Internacional:

$v=2{,}5\ \text{km/s}=2.500\ \text{m/s}\qquad \lambda=20\ \text{cm}=0{,}2\ \text{m}\qquad A=0{,}5\ \text{mm}=5\cdot10^{-4}\ \text{m}$

$f=\dfrac{v}{\lambda}=\dfrac{2.500}{0{,}2}=12.500\ \text{Hz}$

$\omega=2\pi f=25.000\pi\ \text{rad/s}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{0{,}2}=10\pi\ \text{rad/m}$

Para la fase inicial se impone la condición del enunciado: en $x=0$ la elongación es máxima en $t=4\cdot10^{-5}\ \text{s}$, es decir, el coseno vale 1 y su argumento es un múltiplo de $2\pi$:

$\omega\,t+\varphi_0=25.000\pi\cdot4\cdot10^{-5}+\varphi_0=\pi+\varphi_0=2\pi$

$\varphi_0=\pi\ \text{rad}$

La ecuación de la onda es, por tanto:

$y(x,t)=5\cdot10^{-4}\cos\left(25.000\pi\,t-10\pi\,x+\pi\right)\ \text{m}$

$\textbf{b) Elongación, velocidad y aceleración en el punto } \boldsymbol{x = 1\ \text{m}}\textbf{ en el instante } \boldsymbol{t = 4\cdot 10^{-5}\ \text{s}}\textbf{. (1 punto)}$

Se calcula primero la fase en ese punto y ese instante:

$\varphi=25.000\pi\cdot4\cdot10^{-5}-10\pi\cdot1+\pi=\pi-10\pi+\pi=-8\pi\ \text{rad}$

Al ser $-8\pi$ un múltiplo entero de $2\pi$, ese punto está también en un máximo:

$y=5\cdot10^{-4}\cos(-8\pi)=5\cdot10^{-4}\ \text{m}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-A\,\omega\operatorname{sen}\varphi=-5\cdot10^{-4}\cdot25.000\pi\cdot\operatorname{sen}(-8\pi)$

$v_y=0\ \text{m/s}$

Es coherente: en un máximo de elongación la velocidad de vibración se anula.

La aceleración es la derivada segunda, y en un movimiento armónico simple vale:

$a_y=\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\omega^2\,y=-(25.000\pi)^2\cdot5\cdot10^{-4}$

$a_y=-3{,}08\cdot10^{6}\ \text{m/s}^2$

En el máximo la aceleración es la mayor posible en valor absoluto y apunta hacia la posición de equilibrio, de ahí el signo negativo.