Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Navarra · 2024

(A) Explicar la refracción y enunciar sus leyes. (1 punto)

(B) Un recipiente con la superficie abierta al aire contiene una capa de aceite ($n = 1{,}45$) que flota en agua ($n = 1{,}33$). Un rayo de luz, de longitud de onda 650 nm, incide desde el aire sobre el aceite con un ángulo de $40^{\text{o}}$ con respecto a la normal.

a) ¿Cuál es la velocidad del rayo en el aceite y en el agua? (0,25 puntos)
b) ¿Cuál es la longitud de onda del rayo en el aceite y en el agua? (0,25 puntos)
c) Hallar el ángulo de refracción del rayo al atravesar la superficie aceite-agua. (0,5 puntos)
d) Hallar el ángulo límite en la superficie aceite-agua. (0,5 puntos)

Datos: $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; $n_{\text{aire}} = 1$

$\textbf{(A) Explicar la refracción y enunciar sus leyes. (1 punto)}$










La refracción es el cambio de dirección que experimenta una onda al pasar de un medio a otro en el que su velocidad de propagación es distinta. La frecuencia no cambia, porque la impone el foco emisor; lo que cambian son la velocidad y, con ella, la longitud de onda.





Las leyes de la refracción son dos:

i) El rayo incidente, el rayo refractado y la normal a la superficie en el punto de incidencia están $\textbf{en el mismo plano}$.

ii) Ley de Snell: los senos de los ángulos que forman los rayos con la normal son inversamente proporcionales a las velocidades, o lo que es lo mismo, directamente proporcionales a los índices de refracción:

$n_1\operatorname{sen}\hat\imath=n_2\operatorname{sen}\hat r$

De la segunda ley se sigue que al pasar a un medio más refringente el rayo se acerca a la normal, y al pasar a uno menos refringente se aleja de ella.

$\textbf{a) ¿Cuál es la velocidad del rayo en el aceite y en el agua? (0,25 puntos)}$

El índice de refracción es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la del medio:

$n=\dfrac{c}{v}\Rightarrow v=\dfrac{c}{n}$

$v_{\text{aceite}}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}45}=2{,}07\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

$v_{\text{agua}}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}33}=2{,}26\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{b) ¿Cuál es la longitud de onda del rayo en el aceite y en el agua? (0,25 puntos)}$

La frecuencia no cambia de un medio a otro, así que la longitud de onda se reduce en la misma proporción que la velocidad:

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{\lambda_0}{n}$

$\lambda_{\text{aceite}}=\dfrac{650}{1{,}45}=448\ \text{nm}$

$\lambda_{\text{agua}}=\dfrac{650}{1{,}33}=489\ \text{nm}$

$\textbf{c) Hallar el ángulo de refracción del rayo al atravesar la superficie aceite-agua. (0,5 puntos)}$

Primero hay que hallar el ángulo con el que el rayo viaja dentro del aceite, aplicando la ley de Snell en la superficie aire-aceite:

$n_{\text{aire}}\operatorname{sen}40^\circ=n_{\text{aceite}}\operatorname{sen}\hat r_1$

$\operatorname{sen}\hat r_1=\dfrac{\operatorname{sen}40^\circ}{1{,}45}=0{,}4433\Rightarrow \hat r_1=26{,}3^\circ$

Ese es también el ángulo con el que incide en la superficie aceite-agua, ya que las dos superficies son paralelas. Aplicando de nuevo la ley de Snell:

$n_{\text{aceite}}\operatorname{sen}\hat r_1=n_{\text{agua}}\operatorname{sen}\hat r_2$

$\operatorname{sen}\hat r_2=\dfrac{1{,}45\cdot0{,}4433}{1{,}33}=0{,}4833\Rightarrow \hat r_2=28{,}9^\circ$

En el agua el rayo viaja formando $28{,}9^\circ$ con la normal. Obsérvese que es el mismo ángulo que se obtendría pasando directamente del aire al agua: la capa de aceite desplaza el rayo, pero no cambia su dirección final.

$\textbf{d) Hallar el ángulo límite en la superficie aceite-agua. (0,5 puntos)}$

El ángulo límite existe al pasar del medio más refringente al menos refringente, en este caso del aceite al agua, y corresponde a un ángulo de refracción de $90^\circ$:

$n_{\text{aceite}}\operatorname{sen}\hat\lambda=n_{\text{agua}}\operatorname{sen}90^\circ$

$\operatorname{sen}\hat\lambda=\dfrac{1{,}33}{1{,}45}=0{,}9172$

$\hat\lambda=66{,}5^\circ$

El ángulo límite es de $66{,}5^\circ$: un rayo que llegara desde el aceite con más inclinación que esa se reflejaría totalmente y no pasaría al agua.