Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Navarra · 2024

(A) Explicar la refracción y enunciar sus leyes. (1 punto)

(B) Un recipiente con la superficie abierta al aire contiene una capa de aceite ($n=\mathrm{1,45}$) que flota en agua ($n=\mathrm{1,33}$). Un rayo de luz, de longitud de onda 650 nm, incide desde el aire sobre el aceite con un ángulo de ${40}^{\text{o}}$ con respecto a la normal.

a) ¿Cuál es la velocidad del rayo en el aceite y en el agua? (0,25 puntos)
b) ¿Cuál es la longitud de onda del rayo en el aceite y en el agua? (0,25 puntos)
c) Hallar el ángulo de refracción del rayo al atravesar la superficie aceite-agua. (0,5 puntos)
d) Hallar el ángulo límite en la superficie aceite-agua. (0,5 puntos)

Datos: $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; $n_{\text{aire}}=1$

$\mathbf{\text{(A)}}\mathbf{\text{Explicar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{enunciar}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{leyes.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La refracción es el cambio de dirección que experimenta una onda al pasar de un medio a otro en el que su velocidad de propagación es distinta. La frecuencia no cambia, porque la impone el foco emisor; lo que cambian son la velocidad y, con ella, la longitud de onda.





Las leyes de la refracción son dos:

i) El rayo incidente, el rayo refractado y la normal a la superficie en el punto de incidencia están $\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{plano}}$.

ii) Ley de Snell: los senos de los ángulos que forman los rayos con la normal son inversamente proporcionales a las velocidades, o lo que es lo mismo, directamente proporcionales a los índices de refracción:

$n_1\mathrm{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_2\mathrm{sen}\widehat{r}$

De la segunda ley se sigue que al pasar a un medio más refringente el rayo se acerca a la normal, y al pasar a uno menos refringente se aleja de ella.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aceite}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua?}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El índice de refracción es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la del medio:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}\Rightarrow v={\displaystyle \frac{c}{n}}$

$v_{\text{aceite}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,45}}}=\mathrm{2,07}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$v_{\text{agua}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,33}}}=\mathrm{2,26}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aceite}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua?}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La frecuencia no cambia de un medio a otro, así que la longitud de onda se reduce en la misma proporción que la velocidad:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{{\lambda }_0}{n}}$

${\lambda }_{\text{aceite}}={\displaystyle \frac{650}{\mathrm{1,45}}}=448\text{ nm}$

${\lambda }_{\text{agua}}={\displaystyle \frac{650}{\mathrm{1,33}}}=489\text{ nm}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{atravesar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{aceite-agua.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Primero hay que hallar el ángulo con el que el rayo viaja dentro del aceite, aplicando la ley de Snell en la superficie aire-aceite:

$n_{\text{aire}}\mathrm{sen}{40}^{\circ }=n_{\text{aceite}}\mathrm{sen}{\widehat{r}}_1$

$\mathrm{sen}{\widehat{r}}_1={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}{40}^{\circ }}{\mathrm{1,45}}}=\mathrm{0,4433}\Rightarrow {\widehat{r}}_1={\mathrm{26,3}}^{\circ }$

Ese es también el ángulo con el que incide en la superficie aceite-agua, ya que las dos superficies son paralelas. Aplicando de nuevo la ley de Snell:

$n_{\text{aceite}}\mathrm{sen}{\widehat{r}}_1=n_{\text{agua}}\mathrm{sen}{\widehat{r}}_2$

$\mathrm{sen}{\widehat{r}}_2={\displaystyle \frac{\mathrm{1,45}\cdot \mathrm{0,4433}}{\mathrm{1,33}}}=\mathrm{0,4833}\Rightarrow {\widehat{r}}_2={\mathrm{28,9}}^{\circ }$

En el agua el rayo viaja formando ${\mathrm{28,9}}^{\circ }$ con la normal. Obsérvese que es el mismo ángulo que se obtendría pasando directamente del aire al agua: la capa de aceite desplaza el rayo, pero no cambia su dirección final.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{aceite-agua.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El ángulo límite existe al pasar del medio más refringente al menos refringente, en este caso del aceite al agua, y corresponde a un ángulo de refracción de ${90}^{\circ }$:

$n_{\text{aceite}}\mathrm{sen}\widehat{\lambda }=n_{\text{agua}}\mathrm{sen}{90}^{\circ }$

$\mathrm{sen}\widehat{\lambda }={\displaystyle \frac{\mathrm{1,33}}{\mathrm{1,45}}}=\mathrm{0,9172}$

$\widehat{\lambda }={\mathrm{66,5}}^{\circ }$

El ángulo límite es de ${\mathrm{66,5}}^{\circ }$: un rayo que llegara desde el aceite con más inclinación que esa se reflejaría totalmente y no pasaría al agua.