Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Navarra · 2024

(A) Definición de superficies equipotenciales y relación con las líneas de campo para el campo eléctrico. Dibujo (para una única carga). Trabajo en una superficie equipotencial. (1 punto)

(B) En un punto del espacio, $x = 1\ \text{m}$, el potencial eléctrico tiene un valor de 100 V, mientras que en $x = 10\ \text{m}$ el potencial vale 1.000 V. El campo eléctrico es constante y su dirección coincide con el eje OX.

a) Hallar el módulo y sentido del campo eléctrico. (0,5 puntos)
b) Razonar en qué punto de los dos anteriores debemos abandonar a un electrón para que se dirija al otro. ¿Con qué velocidad llegará? (1 punto)

Datos: $m_{\text{electrón}} = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $q_{\text{electrón}} = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$

$\textbf{(A) Definición de superficies equipotenciales y relación con las líneas de campo para el campo eléctrico. Dibujo (para una única carga). Trabajo en una superficie equipotencial. (1 punto)}$










Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos que tienen el mismo potencial eléctrico:

$V(x,y,z)=\text{constante}$

Para una carga puntual el potencial solo depende de la distancia:

$V=K\dfrac{q}{r}$

así que las superficies equipotenciales son $\textbf{esferas concéntricas}$ centradas en la carga.





Las líneas de campo, en cambio, son en ese caso los radios de esas esferas: salen de la carga si es positiva y entran en ella si es negativa. La relación entre unas y otras es general:

$\textbf{las líneas de campo son siempre perpendiculares a las superficies equipotenciales}$

y apuntan en el sentido en el que el potencial decrece más deprisa, ya que $\vec E=-\operatorname{grad}V$.

De ahí se deduce el trabajo al moverse sobre una equipotencial. El trabajo del campo eléctrico entre dos puntos vale:

$W=q\,(V_A-V_B)$

y si los dos puntos están en la misma superficie equipotencial, $V_A=V_B$ y por tanto:

$W=0\ \text{J}$

Se llega a lo mismo por el otro camino: la fuerza es perpendicular al desplazamiento en todo momento, así que su trabajo es nulo. Mover una carga sobre una superficie equipotencial no cuesta ninguna energía.

$\textbf{a) Hallar el módulo y sentido del campo eléctrico. (0,5 puntos)}$



En un campo uniforme el potencial varía linealmente con la posición y el campo es la pendiente cambiada de signo:

$E=-\dfrac{\Delta V}{\Delta x}$

$E=-\dfrac{1.000-100}{10-1}=-100\ \text{V/m}$

El módulo del campo es de $100\ \text{V/m}$ y el signo negativo indica el sentido: el campo apunta en el $\textbf{sentido negativo del eje OX}$, es decir, hacia los potenciales decrecientes.

$\vec E=-100\,\vec\imath\ \text{V/m}$

$\textbf{b) Razonar en qué punto de los dos anteriores debemos abandonar a un electrón para que se dirija al otro. ¿Con qué velocidad llegará? (1 punto)}$

La fuerza sobre el electrón es:

$\vec F=q\,\vec E=(-1{,}6\cdot10^{-19})\cdot(-100\,\vec\imath)=+1{,}6\cdot10^{-17}\,\vec\imath\ \text{N}$

Al ser negativa la carga, la fuerza tiene sentido contrario al campo y apunta hacia las $x$ crecientes. Hay que abandonar el electrón en $\textbf{x = 1 m}$, y él solo se dirigirá hacia $x=10\ \text{m}$.

Dicho con potenciales: una carga negativa se mueve espontáneamente hacia los potenciales mayores, y el mayor de los dos es el de $x=10\ \text{m}$.

El campo es conservativo, así que el trabajo que realiza se invierte íntegramente en energía cinética:

$\dfrac12\,m\,v^2=|q|\,\Delta V=|q|\,(1.000-100)$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot900}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=1{,}78\cdot10^{7}\ \text{m/s}$

El electrón llega a $x=10\ \text{m}$ con una velocidad de $1{,}78\cdot10^{7}\ \text{m/s}$.