Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Un satélite orbita alrededor de la Luna en una órbita circular. En esa órbita, el valor de la gravedad es 1/5 de su valor en la superficie lunar.

a) Hallar el radio de la órbita. (0,75 puntos)
b) ¿Cuál será el periodo del satélite? (0,75 puntos)
c) ¿Cuál sería la energía total del satélite si su masa es de 5.000 kg? (1 punto)

Datos: $R_{\text{Luna}} = 1.740\ \text{km}$; $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Luna}} = 7{,}35\cdot 10^{22}\ \text{kg}$

$\textbf{a) Hallar el radio de la órbita. (0,75 puntos)}$










La intensidad del campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro de la Luna es:

$g=G\dfrac{M_L}{r^2}$

y en la superficie, con $r=R_L$:

$g_0=G\dfrac{M_L}{R_L^2}$





Dividiendo una expresión entre la otra desaparecen la constante y la masa de la Luna:

$\dfrac{g}{g_0}=\dfrac{R_L^2}{r^2}=\dfrac15\Rightarrow r=R_L\sqrt5$

Se expresa el radio lunar en unidades del Sistema Internacional:

$R_L=1.740\ \text{km}=1{,}74\cdot10^{6}\ \text{m}$

$r=1{,}74\cdot10^{6}\cdot\sqrt5=3{,}89\cdot10^{6}\ \text{m}$

El radio de la órbita es de $3{,}89\cdot10^{6}\ \text{m}$, poco más del doble del radio de la Luna.

$\textbf{b) ¿Cuál será el periodo del satélite? (0,75 puntos)}$

La atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta, y el movimiento es circular y uniforme:

$G\dfrac{M_L\,m}{r^2}=m\dfrac{4\pi^2r}{T^2}\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M_L}}$

Es la tercera ley de Kepler. Sustituyendo:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{(3{,}89\cdot10^{6})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}}=2{,}18\cdot10^{4}\ \text{s}$

El periodo es de $2{,}18\cdot10^{4}\ \text{s}$, es decir, unas $6{,}05$ horas.

$\textbf{c) ¿Cuál sería la energía total del satélite si su masa es de 5.000 kg? (1 punto)}$

En una órbita circular la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial, y la energía mecánica resulta:

$E=E_c+E_p=\dfrac12\,m v^2-G\dfrac{M_L\,m}{r}=-G\dfrac{M_L\,m}{2r}$

$E=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}\cdot5.000}{2\cdot3{,}89\cdot10^{6}}$

$E=-3{,}15\cdot10^{9}\ \text{J}$

La energía total del satélite es de $-3{,}15\cdot10^{9}\ \text{J}$, negativa como corresponde a un cuerpo ligado al campo gravitatorio lunar.