Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Navarra · 2025

El tecnecio-99 es un isótopo utilizado en Medicina Nuclear ya que emite radiación gamma que puede ser captada por un detector para producir imágenes del interior del cuerpo. Su vida media es de aproximadamente 6 horas; lo suficientemente larga para permitir la realización de pruebas de diagnóstico, pero lo suficientemente corta para minimizar la exposición a la radiación del paciente.

a) (0.5 puntos) Explicar en qué consiste la radiación gamma.
b) (1.5 puntos) Si se inyecta a un paciente una dosis de Tc-99, ¿al cabo de cuánto tiempo quedará en el organismo sólo el 10 % de la cantidad inicial?
c) (0.5 puntos) ¿Cuál es el periodo de semidesintegración del Tc-99?

Dato: $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{a) (0.5 puntos) Explicar en qué consiste la radiación gamma.}$



La radiación gamma es radiación electromagnética de longitud de onda muy corta, es decir, fotones de energía muy alta, típicamente por encima de los $10^{5}\ \text{eV}$.

La emite un núcleo que, tras una desintegración alfa o beta, ha quedado en un estado excitado: al caer a su estado fundamental libera el exceso de energía en forma de un fotón. Como no se emiten ni nucleones ni carga, la emisión gamma $\textbf{no cambia ni el número atómico ni el número másico}$: el núcleo sigue siendo el mismo elemento y el mismo isótopo.

${}^{A}_{Z}\text{X}^{*}\ \longrightarrow\ {}^{A}_{Z}\text{X}+\gamma$

Es, con diferencia, la más penetrante de las tres radiaciones, y eso es justamente lo que se aprovecha en medicina nuclear: los fotones atraviesan el cuerpo y pueden captarse desde fuera con un detector.

$\textbf{b) (1.5 puntos) Si se inyecta a un paciente una dosis de Tc-99, ¿al cabo de cuánto tiempo quedará en el organismo sólo el 10 \% de la cantidad inicial?}$

La vida media $\tau$ es el tiempo de vida promedio de un núcleo y es la inversa de la constante radiactiva:

$\tau=\dfrac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{1}{6}\ \text{h}^{-1}=0{,}167\ \text{h}^{-1}$

Se aplica la ley de desintegración radiactiva:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

$0{,}10\,N_0=N_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln(0{,}10)=-\lambda\,t$

$t=\dfrac{\ln 10}{\lambda}=\dfrac{2{,}303}{0{,}167}=13{,}8\ \text{h}$

Al cabo de unas $13{,}8\ \text{h}$ solo queda el 10 % del tecnecio inyectado. Ese es justamente el equilibrio que busca la medicina nuclear: tiempo suficiente para hacer la prueba y lo bastante corto para que el paciente no siga irradiado al día siguiente.

$\textbf{c) (0.5 puntos) ¿Cuál es el periodo de semidesintegración del Tc-99?}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en quedar la mitad de los núcleos:

$\dfrac12=e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$

$T_{1/2}=\dfrac{0{,}693}{0{,}167}=4{,}16\ \text{h}$

El periodo de semidesintegración es de $4{,}16\ \text{h}$, menor que la vida media, como siempre ocurre: la relación entre ambos es el factor $\ln 2$.