Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Navarra · 2025

En una determinada región del espacio hay un campo eléctrico $\mathbf{E}$ y otro magnético $\mathbf{B}$. Un electrón entra en dicha región con una velocidad $v = 10^{5}\ \text{m/s}$, perpendicular a $\mathbf{B}$, y se observa que su velocidad no sufre variación.

a) (0.5 puntos) Explicar con un dibujo qué dirección y sentido tiene el campo $\mathbf{E}$ respecto a las direcciones de $\mathbf{B}$ y $\mathbf{v}$. Dibujar también las fuerzas que actúan sobre el electrón.
b) (0.5 puntos) ¿Cuál será el módulo del campo eléctrico si $B = 10^{-4}\ \text{T}$?
c) (0.5 puntos) ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza magnética?

Datos: $q_{e^-} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; $m_{e^-} = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$

$\textbf{a) (0.5 puntos) Explicar con un dibujo qué dirección y sentido tiene el campo } \boldsymbol{\mathbf{E}}\textbf{ respecto a las direcciones de } \boldsymbol{\mathbf{B}}\textbf{ y } \boldsymbol{\mathbf{v}}\textbf{. Dibujar también las fuerzas que actúan sobre el electrón.}$



Que la velocidad no sufra variación significa que no cambia ni en módulo ni en dirección, es decir, que la fuerza total sobre el electrón es nula:

$\vec F_E+\vec F_B=\vec 0$

$q\,\vec E+q\,(\vec v\times\vec B)=\vec 0\Rightarrow \vec E=-\,\vec v\times\vec B$

El producto vectorial $\vec v\times\vec B$ es perpendicular a los dos factores, así que $\vec E$ tiene que ser $\textbf{perpendicular a la vez a } \vec v \textbf{ y a } \vec B$. Los tres vectores forman un triedro: si la velocidad es horizontal y el campo magnético entra en el papel, el campo eléctrico es vertical.

Sobre el electrón, la fuerza eléctrica $\vec F_E=q\vec E$ tiene sentido contrario a $\vec E$ por ser negativa la carga, y la fuerza magnética $\vec F_B$ es igual y opuesta a ella; su suma es cero y el electrón sigue en línea recta y con velocidad constante. Este montaje es el de un selector de velocidades.

$\textbf{b) (0.5 puntos) ¿Cuál será el módulo del campo eléctrico si } \boldsymbol{B = 10^{-4}\ \text{T}}\textbf{?}$

Como $\vec v$ y $\vec B$ son perpendiculares, igualando los módulos de las dos fuerzas:

$|q|\,E=|q|\,v\,B\Rightarrow E=v\,B$

La carga se simplifica: la condición no depende de qué partícula atraviese el selector, solo de su velocidad.

$E=10^{5}\cdot10^{-4}=10\ \text{V/m}$

El campo eléctrico debe valer $10\ \text{V/m}$.

$\textbf{c) (0.5 puntos) ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza magnética?}$

La fuerza magnética es en todo momento perpendicular a la velocidad, y por tanto al desplazamiento:

$W=\int \vec F_B\cdot d\vec r=\int F_B\,dr\cos 90^\circ=0\ \text{J}$

El trabajo de la fuerza magnética es $\textbf{siempre nulo}$, en este y en cualquier otro caso. Por eso una fuerza magnética nunca puede cambiar el módulo de la velocidad de una partícula ni su energía cinética: solo puede curvar su trayectoria.