Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

La estación espacial internacional (ISS) orbita una altura media de 405 km sobre la superficie terrestre.

a) (1 punto) Determina el periodo y la velocidad de la ISS.
b) (1 punto) ¿Cuál es la energía total de la ISS, si su masa es de $4.2\cdot 10^{5}\ \text{kg}$?
c) (0.5 puntos) ¿Cuál fue el trabajo realizado para llevar la ISS desde la superficie de la Tierra a su órbita?

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{Tierra}} = 6{,}371\cdot 10^{6}\ \text{m}$; $\text{Distancia}_{\text{T-L}} = 3{,}84\cdot 10^{8}\ \text{m}$

$\textbf{a) (1 punto) Determina el periodo y la velocidad de la ISS.}$










La atracción gravitatoria terrestre es la única fuerza que actúa sobre la estación y hace de fuerza centrípeta de su órbita circular:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$

El radio de la órbita es el de la Tierra más la altura de vuelo.





$r=R_T+h=6{,}371\cdot10^{6}+4{,}05\cdot10^{5}=6{,}776\cdot10^{6}\ \text{m}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}776\cdot10^{6}}}=7{,}67\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

El periodo sale de la relación entre la velocidad y la longitud de la circunferencia:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot6{,}776\cdot10^{6}}{7{,}67\cdot10^{3}}=5{,}55\cdot10^{3}\ \text{s}$

La ISS vuela a $7{,}67\ \text{km/s}$ y da una vuelta completa en $5{,}55\cdot10^{3}\ \text{s}$, es decir, en unos $92{,}6$ minutos: algo más de hora y media.

$\textbf{b) (1 punto) ¿Cuál es la energía total de la ISS, si su masa es de } \boldsymbol{4.2\cdot 10^{5}\ \text{kg}}\textbf{?}$

En una órbita circular la energía mecánica es:

$E=E_c+E_p=\dfrac12\,m v^2-G\dfrac{M_T\,m}{r}=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}$

$E=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot4{,}2\cdot10^{5}}{2\cdot6{,}776\cdot10^{6}}$

$E=-1{,}23\cdot10^{13}\ \text{J}$

La energía total de la estación es de $-1{,}23\cdot10^{13}\ \text{J}$, negativa porque está ligada a la Tierra.

$\textbf{c) (0.5 puntos) ¿Cuál fue el trabajo realizado para llevar la ISS desde la superficie de la Tierra a su órbita?}$

El trabajo que hubo que realizar desde fuera es el aumento de la energía mecánica entre el reposo sobre la superficie y la órbita:

$W=E-E_{\text{superficie}}=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}-\left(-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}\right)$

$E_{\text{superficie}}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot4{,}2\cdot10^{5}}{6{,}371\cdot10^{6}}=-2{,}63\cdot10^{13}\ \text{J}$

$W=-1{,}23\cdot10^{13}-\left(-2{,}63\cdot10^{13}\right)=1{,}39\cdot10^{13}\ \text{J}$

Poner la estación en órbita costó al menos $1{,}39\cdot10^{13}\ \text{J}$, una parte en subirla y otra en darle la velocidad orbital.