Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

La estación espacial internacional (ISS) orbita una altura media de 405 km sobre la superficie terrestre.

a) (1 punto) Determina el periodo y la velocidad de la ISS.
b) (1 punto) ¿Cuál es la energía total de la ISS, si su masa es de $4.2\cdot {10}^5\text{ kg}$?
c) (0.5 puntos) ¿Cuál fue el trabajo realizado para llevar la ISS desde la superficie de la Tierra a su órbita?

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{Tierra}}=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6\text{ m}$; ${\text{Distancia}}_{\text{T-L}}=\mathrm{3,84}\cdot {10}^8\text{ m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ISS.}}$










La atracción gravitatoria terrestre es la única fuerza que actúa sobre la estación y hace de fuerza centrípeta de su órbita circular:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$

El radio de la órbita es el de la Tierra más la altura de vuelo.





$r=R_T+h=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6+\mathrm{4,05}\cdot {10}^5=\mathrm{6,776}\cdot {10}^6\text{ m}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,776}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{7,67}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El periodo sale de la relación entre la velocidad y la longitud de la circunferencia:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{6,776}\cdot {10}^6}{\mathrm{7,67}\cdot {10}^3}}=\mathrm{5,55}\cdot {10}^3\text{ s}$

La ISS vuela a $\mathrm{7,67}\text{ km/s}$ y da una vuelta completa en $\mathrm{5,55}\cdot {10}^3\text{ s}$, es decir, en unos $\mathrm{92,6}$ minutos: algo más de hora y media.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ISS,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">4.2</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">5</mn></msup><mtext> kg</mtext></mrow>}\mathbf{\text{?}}$

En una órbita circular la energía mecánica es:

$E=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}$

$E=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot \mathrm{4,2}\cdot {10}^5}{2\cdot \mathrm{6,776}\cdot {10}^6}}$

$E=-\mathrm{1,23}\cdot {10}^{13}\text{ J}$

La energía total de la estación es de $-\mathrm{1,23}\cdot {10}^{13}\text{ J}$, negativa porque está ligada a la Tierra.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llevar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ISS}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita?}}$

El trabajo que hubo que realizar desde fuera es el aumento de la energía mecánica entre el reposo sobre la superficie y la órbita:

$W=E-E_{\text{superficie}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}-(-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}})$

$E_{\text{superficie}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot \mathrm{4,2}\cdot {10}^5}{\mathrm{6,371}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{2,63}\cdot {10}^{13}\text{ J}$

$W=-\mathrm{1,23}\cdot {10}^{13}-(-\mathrm{2,63}\cdot {10}^{13})=\mathrm{1,39}\cdot {10}^{13}\text{ J}$

Poner la estación en órbita costó al menos $\mathrm{1,39}\cdot {10}^{13}\text{ J}$, una parte en subirla y otra en darle la velocidad orbital.