Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Navarra · 2025

Iluminamos cierto material con diferentes haces de luz monocromática. En la figura se muestra la gráfica de la energía cinética de los electrones emitidos en función de la frecuencia de la luz incidente.

a) (1 punto) Deduce el valor de la constante de Planck.
b) (0.5 puntos) Calcula el trabajo de extracción del material.
c) (1 puntos) Hallar el potencial de frenado de los electrones emitidos tras iluminar el material con una luz de 200 nm.










Datos: $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; $1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}$; $q_{e^-} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; $m_{e^-} = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$

$\textbf{a) (1 punto) Deduce el valor de la constante de Planck.}$

La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico relaciona la energía cinética máxima de los electrones emitidos con la frecuencia de la luz incidente:

$E_c=h\,f-W_0$

Es la ecuación de una recta $y=mx+n$ en la que la variable independiente es la frecuencia, de modo que $\textbf{la pendiente de la gráfica es la constante de Planck}$.

Se leen en la gráfica del enunciado dos puntos bien definidos de la recta:

$(10\cdot10^{14}\ \text{Hz},\ 0\ \text{eV})\quad\text{y}\quad(20\cdot10^{14}\ \text{Hz},\ 4\ \text{eV})$

$h=\dfrac{\Delta E_c}{\Delta f}=\dfrac{4-0}{20\cdot10^{14}-10\cdot10^{14}}=\dfrac{4\ \text{eV}}{10^{15}\ \text{Hz}}$

Se pasan los electronvoltios a julios:

$h=\dfrac{4\cdot1{,}6\cdot10^{-19}}{10^{15}}=6{,}4\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$

El valor deducido de la gráfica es $6{,}4\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, muy próximo al valor tabulado de la constante de Planck.

$\textbf{b) (0.5 puntos) Calcula el trabajo de extracción del material.}$

El corte de la recta con el eje de frecuencias se produce cuando la energía cinética se anula, es decir, en la frecuencia umbral, que en la gráfica es:

$f_0=10\cdot10^{14}=10^{15}\ \text{Hz}$

$W_0=h\,f_0=6{,}4\cdot10^{-34}\cdot10^{15}=6{,}4\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$W_0=\dfrac{6{,}4\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=4\ \text{eV}$

El trabajo de extracción del material es de $6{,}4\cdot10^{-19}\ \text{J}$, o lo que es lo mismo, $4\ \text{eV}$. Es también el valor absoluto de la ordenada en el origen de la recta.

$\textbf{c) (1 puntos) Hallar el potencial de frenado de los electrones emitidos tras iluminar el material con una luz de 200 nm.}$



El potencial de frenado es el voltaje que hay que aplicar en sentido contrario para que ni siquiera los electrones más rápidos lleguen al ánodo. Toda su energía cinética se invierte en vencer al campo:

$e\,V_f=E_{c,\max}$

Primero se calcula la frecuencia de la luz incidente:

$f=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{200\cdot10^{-9}}=1{,}5\cdot10^{15}\ \text{Hz}$

Y con ella, la energía cinética máxima:

$E_{c,\max}=h\,(f-f_0)=6{,}4\cdot10^{-34}\left(1{,}5\cdot10^{15}-1\cdot10^{15}\right)$

$E_{c,\max}=3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$V_f=\dfrac{E_{c,\max}}{e}=\dfrac{3{,}2\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=2\ \text{V}$

El potencial de frenado es de $2\ \text{V}$. Como era de esperar, coincide numéricamente con la energía cinética máxima expresada en electronvoltios, que es de $2\ \text{eV}$.