Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Navarra · 2025

La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda horizontal, según el eje OX, viene dada por $y(x,t) = 0{,}05\operatorname{sen}[\pi(10x + 20t + 2)]$, donde las magnitudes se expresan en el S.I. de unidades.

a) (1.25 puntos) Determina la amplitud, la longitud de onda, la fase inicial y la velocidad, dirección y sentido de propagación de la onda.
b) (0.25 puntos) Representa la elongación del punto $x = 1$ m en función del tiempo, durante el primer periodo del movimiento.

Dato: $g_{0} = 9{,}8\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$

$\textbf{a) (1.25 puntos) Determina la amplitud, la longitud de onda, la fase inicial y la velocidad, dirección y sentido de propagación de la onda.}$

Se desarrolla el paréntesis de la ecuación dada para poder identificar los términos con los de la ecuación general de una onda armónica:

$y(x,t)=0{,}05\operatorname{sen}\left[\pi(10x+20t+2)\right]=0{,}05\operatorname{sen}(20\pi t+10\pi x+2\pi)$

Comparándola con:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t+k\,x+\varphi_0)$

se identifica término a término:

$A=0{,}05\ \text{m}$

$\omega=20\pi\ \text{rad/s}\Rightarrow f=\dfrac{\omega}{2\pi}=10\ \text{Hz}\Rightarrow T=0{,}1\ \text{s}$

$k=10\pi\ \text{rad/m}\Rightarrow \lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{10\pi}=0{,}2\ \text{m}$

$\varphi_0=2\pi\ \text{rad}$

La fase inicial de $2\pi$ radianes equivale a una fase nula, porque el seno tiene periodo $2\pi$.

La velocidad de propagación es:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{20\pi}{10\pi}=2\ \text{m/s}$

En cuanto al sentido, los términos en $t$ y en $x$ tienen el $\textbf{mismo}$ signo, y eso significa que la onda se propaga en el sentido $\textbf{negativo}$ del eje OX: para que la fase se mantenga constante, al aumentar $t$ tiene que disminuir $x$.

La onda se propaga por la cuerda a $2\ \text{m/s}$ en la dirección del eje OX y en sentido negativo, con amplitud $0{,}05\ \text{m}$ y longitud de onda $0{,}2\ \text{m}$.

$\textbf{b) (0.25 puntos) Representa la elongación del punto } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ m en función del tiempo, durante el primer periodo del movimiento.}$

Se sustituye $x=1\ \text{m}$ en la ecuación de la onda:

$y(1,t)=0{,}05\operatorname{sen}(20\pi t+10\pi+2\pi)=0{,}05\operatorname{sen}(20\pi t+12\pi)$

Como $12\pi$ es un múltiplo entero de $2\pi$, la fase se puede suprimir:

$y(1,t)=0{,}05\operatorname{sen}(20\pi t)$

Ese punto describe, por tanto, un movimiento armónico simple de amplitud $0{,}05\ \text{m}$ y periodo $0{,}1\ \text{s}$, que parte del origen moviéndose hacia elongaciones positivas: