Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

En una prueba de lanzamientos de la ESA, se lanza verticalmente un objeto que alcanza una altura de un cuarto del radio terrestre y vuelve a caer.

a) (1 punto) ¿Con qué velocidad se lanzó el objeto?
b) (0.75 puntos) ¿Qué masa máxima tendría que tener un planeta de radio igual a un tercio el de la Tierra para que, realizando el mismo lanzamiento (mismos objeto y velocidad inicial), el objeto no regresase?
c) (0.75 puntos) ¿Cuál sería el valor de la gravedad en la superficie de dicho planeta?

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{Tierra}} = 6{,}371\cdot 10^{6}\ \text{m}$

$\textbf{a) (1 punto) ¿Con qué velocidad se lanzó el objeto?}$










El campo gravitatorio es conservativo y no hay rozamiento, así que la energía mecánica se conserva entre el lanzamiento y el punto más alto, donde la velocidad se anula:

$\dfrac12\,m\,v_0^2-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=-G\dfrac{M_T\,m}{R_T+h}$





La masa del objeto se simplifica. Con $h=R_T/4$ el radio final es:

$R_T+h=R_T+\dfrac{R_T}{4}=\dfrac{5}{4}R_T$

$\dfrac{v_0^2}{2}=\dfrac{G\,M_T}{R_T}-\dfrac{G\,M_T}{\frac54 R_T}=\dfrac{G\,M_T}{R_T}\left(1-\dfrac45\right)=\dfrac{G\,M_T}{5\,R_T}$

$v_0=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_T}{5\,R_T}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{5\cdot6{,}371\cdot10^{6}}}$

$v_0=5{,}00\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

El objeto se lanzó a $5{,}00\ \text{km/s}$.

$\textbf{b) (0.75 puntos) ¿Qué masa máxima tendría que tener un planeta de radio igual a un tercio el de la Tierra para que, realizando el mismo lanzamiento (mismos objeto y velocidad inicial), el objeto no regresase?}$

Que el objeto no regrese significa que escapa del campo gravitatorio del planeta, es decir, que la velocidad de lanzamiento iguala o supera a la velocidad de escape:

$v_0\ge v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_p}{R_p}}$

El caso límite es la igualdad, que da la masa máxima:

$M_p=\dfrac{v_0^2\,R_p}{2\,G}$

El radio del planeta es un tercio del terrestre:

$R_p=\dfrac{R_T}{3}=\dfrac{6{,}371\cdot10^{6}}{3}=2{,}12\cdot10^{6}\ \text{m}$

$M_p=\dfrac{(5{,}00\cdot10^{3})^2\cdot2{,}12\cdot10^{6}}{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}}=3{,}98\cdot10^{23}\ \text{kg}$

La masa del planeta no puede pasar de $3{,}98\cdot10^{23}\ \text{kg}$: por encima de ese valor su campo sería capaz de frenar al objeto y hacerlo volver.

$\textbf{c) (0.75 puntos) ¿Cuál sería el valor de la gravedad en la superficie de dicho planeta?}$

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie es:

$g=G\dfrac{M_p}{R_p^2}$

$g=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}98\cdot10^{23}}{(2{,}12\cdot10^{6})^2}=5{,}89\ \text{m/s}^2$

En la superficie de ese planeta la gravedad valdría $5{,}89\ \text{m/s}^2$, algo más de la mitad de la terrestre. El mismo valor se obtiene sin pasar por la masa, combinando la velocidad de escape con la gravedad de superficie:

$v_0^2=\dfrac{2\,G\,M_p}{R_p}=2\,g\,R_p\Rightarrow g=\dfrac{v_0^2}{2\,R_p}=\dfrac{(5{,}00\cdot10^{3})^2}{2\cdot2{,}12\cdot10^{6}}=5{,}89\ \text{m/s}^2$