Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

El 12 de agosto de 2026, Navarra será testigo de un eclipse total de sol. En este evento, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol. Consideramos que la órbita lunar es elíptica, con un apogeo de 405.000 km y un perigeo de 363.300 km, siendo su velocidad mínima $v = 3.470\ \text{km/h}$.

a) (0,75 puntos) Calcular la fuerza neta que actúa sobre la Luna debido a la atracción del Sol y la Tierra en el momento del eclipse (Luna en perigeo).
b) (0,75 puntos) ¿En qué punto de la órbita se da la mínima velocidad? Justificar la respuesta.
c) (1 punto) Calcular la velocidad máxima.

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{Tierra}} = 6{,}371\cdot 10^{6}\ \text{m}$; $M_{\text{Luna}} = 7{,}35\cdot 10^{22}\ \text{kg}$; $M_{\text{Sol}} = 1{,}99\cdot 10^{30}\ \text{kg}$; $\text{Distancia}_{\text{Tierra-Sol}} = 1{,}5\cdot 10^{8}\ \text{km}$

$\textbf{a) (0,75 puntos) Calcular la fuerza neta que actúa sobre la Luna debido a la atracción del Sol y la Tierra en el momento del eclipse (Luna en perigeo).}$



En un eclipse total de Sol la Luna se interpone entre el Sol y la Tierra, de modo que los tres cuerpos están alineados y las dos atracciones que sufre la Luna tienen sentidos opuestos: la del Sol la lleva hacia un lado y la de la Tierra hacia el otro.

Por la ley de gravitación universal, cada una vale:

$F=G\dfrac{M\,M_L}{d^2}$

Se pasan las distancias a unidades del Sistema Internacional. La Luna está en el perigeo, así que su distancia a la Tierra es:

$d_{TL}=363.300\ \text{km}=3{,}633\cdot10^{8}\ \text{m}$

y su distancia al Sol es la que separa la Tierra del Sol menos esa:

$d_{SL}=1{,}5\cdot10^{11}-3{,}633\cdot10^{8}=1{,}496\cdot10^{11}\ \text{m}$

Atracción de la Tierra:

$F_T=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{(3{,}633\cdot10^{8})^2}=2{,}22\cdot10^{20}\ \text{N}$

Atracción del Sol:

$F_S=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}99\cdot10^{30}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{(1{,}496\cdot10^{11})^2}=4{,}36\cdot10^{20}\ \text{N}$

Por el principio de superposición, y como las dos fuerzas tienen la misma dirección y sentidos contrarios, la resultante es la resta de sus módulos:

$F=F_S-F_T=4{,}36\cdot10^{20}-2{,}22\cdot10^{20}=2{,}14\cdot10^{20}\ \text{N}$

La fuerza neta sobre la Luna vale $2{,}14\cdot10^{20}\ \text{N}$ y está dirigida hacia el Sol: incluso durante el eclipse el Sol tira de la Luna con casi el doble de fuerza que la Tierra.

$\textbf{b) (0,75 puntos) ¿En qué punto de la órbita se da la mínima velocidad? Justificar la respuesta.}$



La fuerza gravitatoria es central, es decir, siempre está dirigida hacia el foco de la elipse. Su momento respecto de ese punto es nulo y, por tanto, el momento angular de la Luna se conserva:

$\vec L=\vec r\times m\vec v=\text{constante}$

En el apogeo y en el perigeo el vector posición y la velocidad son perpendiculares, así que:

$L=m\,r\,v$

Como el producto $r\,v$ es constante en esos dos puntos, la velocidad es mínima donde el radio es máximo:

$r_a\,v_{\min}=r_p\,v_{\max}$

La velocidad mínima se da en el $\textbf{apogeo}$, el punto más alejado de la Tierra, que es donde se sitúan los 405.000 km. Es la traducción de la segunda ley de Kepler: para barrer áreas iguales en tiempos iguales, la Luna tiene que ir más despacio cuanto más lejos está.

$\textbf{c) (1 punto) Calcular la velocidad máxima.}$

La velocidad máxima se alcanza en el perigeo, y sale de la conservación del momento angular:

$v_{\max}=v_{\min}\,\dfrac{r_a}{r_p}$

Se pasa la velocidad mínima a unidades del Sistema Internacional:

$v_{\min}=3.470\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\dfrac{1.000\ \text{m}}{3.600\ \text{s}}=963{,}9\ \text{m/s}$

$v_{\max}=963{,}9\cdot\dfrac{405.000}{363.300}=1{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La Luna alcanza en el perigeo $1{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, es decir, unos $3.868\ \text{km/h}$, un 11 % más que en el apogeo.