Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

El satélite español Spainsat NG II, de masa $m = 6.100\ \text{kg}$, se pretendía colocar en una órbita geoestacionaria (T = 24 horas) alrededor de la Tierra. Durante una maniobra de transferencia, el satélite se encontraba en una órbita intermedia circular a 50.000 km del centro de la Tierra cuando sufrió el impacto de un micrometeorito, quedando inutilizado.

a) (1 punto) ¿Qué velocidad tenía el satélite en el momento del impacto?
b) (0,75 puntos) ¿Cuál era la energía del satélite en el momento del impacto?
c) (0,75 puntos) ¿Qué velocidad debería haber alcanzado para situarse en órbita geoestacionaria?

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{Tierra}} = 6{,}371\cdot 10^{6}\ \text{m}$; $M_{\text{Luna}} = 7{,}35\cdot 10^{22}\ \text{kg}$; $M_{\text{Sol}} = 1{,}99\cdot 10^{30}\ \text{kg}$; $\text{Distancia}_{\text{Tierra-Sol}} = 1{,}5\cdot 10^{8}\ \text{km}$

$\textbf{a) (1 punto) ¿Qué velocidad tenía el satélite en el momento del impacto?}$










La única fuerza que actúa sobre el satélite es la atracción gravitatoria terrestre y, al ser la órbita circular, hace de fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$

La masa del satélite se simplifica: la velocidad orbital no depende de ella.





Se pasa el radio de la órbita a unidades del Sistema Internacional:

$r=50.000\ \text{km}=5\cdot10^{7}\ \text{m}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{5\cdot10^{7}}}=2{,}82\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

En el momento del impacto el satélite llevaba una velocidad de $2{,}82\ \text{km/s}$.

$\textbf{b) (0,75 puntos) ¿Cuál era la energía del satélite en el momento del impacto?}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria:

$E=E_c+E_p=\dfrac12\,m\,v^2-G\dfrac{M_T\,m}{r}$

Como en una órbita circular $m\,v^2=G\,M_T\,m/r$, la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial y la energía total queda:

$E=\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}-G\dfrac{M_T\,m}{r}=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}$

$E=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot6.100}{2\cdot5\cdot10^{7}}=-2{,}43\cdot10^{10}\ \text{J}$

La energía del satélite era de $-2{,}43\cdot10^{10}\ \text{J}$. Es negativa, como corresponde a un cuerpo ligado al campo gravitatorio de la Tierra.

$\textbf{c) (0,75 puntos) ¿Qué velocidad debería haber alcanzado para situarse en órbita geoestacionaria?}$

Una órbita geoestacionaria tiene el mismo periodo que la rotación terrestre. Igualando la expresión de la velocidad orbital con la del movimiento circular uniforme se llega a la tercera ley de Kepler:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}\quad\text{y}\quad v^2=\dfrac{G\,M_T}{r}\Rightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}}$

Se pasa el periodo a segundos:

$T=24\ \text{h}\cdot3.600\ \dfrac{\text{s}}{\text{h}}=8{,}64\cdot10^{4}\ \text{s}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot(8{,}64\cdot10^{4})^2}{4\pi^2}}=4{,}22\cdot10^{7}\ \text{m}$

Y con ese radio, la velocidad de la órbita geoestacionaria:

$v=\dfrac{2\pi\cdot4{,}22\cdot10^{7}}{8{,}64\cdot10^{4}}=3{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

El satélite tendría que haber alcanzado $3{,}07\ \text{km/s}$ a $4{,}22\cdot10^{7}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, es decir, a unos $35.856\ \text{km}$ de altura sobre la superficie.