Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

La sonda espacial Voyager 3 ha llegado a un nuevo exoplaneta rocoso. Para planificar el aterrizaje, la sonda se sitúa en una órbita circular a una altura de 1.200 km sobre la superficie del planeta. Los instrumentos de a bordo han registrado los siguientes datos: la velocidad orbital de la sonda es de 2.500 m/s y la aceleración de la gravedad en esa órbita es $2{,}2\ \text{m/s}^{2}$.

a) (0,75 puntos) ¿Cuál es el radio del exoplaneta?
b) (1 punto) ¿Cuál es la masa del exoplaneta?
c) (0,75 puntos) ¿Qué velocidad habría que comunicar a la sonda para que escapase de la órbita?

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Marte}} = 6{,}41\cdot 10^{23}\ \text{kg}$; $R_{\text{Marte}} = 3{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m}$

$\textbf{a) (0,75 puntos) ¿Cuál es el radio del exoplaneta?}$










La única fuerza que actúa sobre la sonda es la atracción gravitatoria del exoplaneta y, al ser la órbita circular, esa fuerza es la fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$m\,g=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow g=\dfrac{v^2}{r}$

donde $g$ es la intensidad del campo gravitatorio en la órbita, que es el dato que dan los instrumentos.





Se despeja el radio de la órbita:

$r=\dfrac{v^2}{g}=\dfrac{2500^2}{2{,}2}=2{,}84\cdot10^{6}\ \text{m}$

El radio del planeta es ese radio orbital menos la altura a la que vuela la sonda:

$h=1.200\ \text{km}=1{,}2\cdot10^{6}\ \text{m}$

$R=r-h=2{,}84\cdot10^{6}-1{,}2\cdot10^{6}=1{,}64\cdot10^{6}\ \text{m}$

El exoplaneta tiene un radio de $1{,}64\cdot10^{6}\ \text{m}$, es decir, unos $1.641\ \text{km}$.

$\textbf{b) (1 punto) ¿Cuál es la masa del exoplaneta?}$

La intensidad del campo gravitatorio a la distancia $r$ del centro del planeta vale:

$g=G\dfrac{M}{r^2}$

Se despeja la masa y se sustituyen los datos, ya en unidades del Sistema Internacional:

$M=\dfrac{g\,r^2}{G}=\dfrac{2{,}2\cdot(2{,}84\cdot10^{6})^2}{6{,}67\cdot10^{-11}}$

$M=2{,}66\cdot10^{23}\ \text{kg}$

La masa del exoplaneta es de $2{,}66\cdot10^{23}\ \text{kg}$, algo menos de la mitad de la de Marte.

$\textbf{c) (0,75 puntos) ¿Qué velocidad habría que comunicar a la sonda para que escapase de la órbita?}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica cero. Como el campo gravitatorio es conservativo:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2-G\dfrac{M\,m}{r}=0$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{r}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2{,}66\cdot10^{23}}{2{,}84\cdot10^{6}}}=3{,}54\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Este resultado es el que se obtiene sin calcular nada, porque en una órbita circular $v^2=GM/r$ y por tanto la velocidad de escape es $\sqrt2$ veces la orbital:

$v_{\text{esc}}=\sqrt2\,v=\sqrt2\cdot2500=3{,}54\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La sonda ya lleva $2{,}5\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, así que el incremento que hay que comunicarle es:

$\Delta v=3{,}54\cdot10^{3}-2{,}5\cdot10^{3}=1{,}04\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Hay que llevar la sonda hasta $3{,}54\ \text{km/s}$, o sea, acelerarla $1{,}04\ \text{km/s}$ más.