Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Considere la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & x \leq 1 \\ x^2 - 6x + 5 & 1 < x < 4 \\ 2x - 11 & x \geq 4 \end{cases}$

i) Calcule las derivadas laterales de $f(x)$ en $x = 4$, utilizando la definición de derivada. (4 puntos)

ii) ¿La función $f(x)$ es derivable en $x = 4$? ¿Es continua en $x = 4$? Justifique la respuesta. (2 puntos)

iii) Calcule la siguiente integral: $\displaystyle\int \sqrt{6x-1}\,dx$ (4 puntos)

$\textbf{i) Calcule las derivadas laterales de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{x = 4}\textbf{, utilizando la definición de derivada.}\ (4\ \text{puntos})$

La definición de derivada lateral en un punto es

$f'(a^\pm)=\lim_{h\to 0^\pm}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

En $x=4$ rige el tercer trozo, así que

$f(4)=2\cdot 4-11=-3$

Derivada por la izquierda. Para $h<0$ pequeño, $4+h$ cae en el segundo trozo:

$f(4+h)=(4+h)^2-6(4+h)+5=16+8h+h^2-24-6h+5=-3+2h+h^2$

$\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\dfrac{-3+2h+h^2+3}{h}=\dfrac{h(2+h)}{h}=2+h$

$f'(4^-)=\lim_{h\to 0^-}(2+h)=2$

Derivada por la derecha. Para $h>0$, $4+h$ cae en el tercer trozo:

$f(4+h)=2(4+h)-11=-3+2h$

$\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\dfrac{-3+2h+3}{h}=\dfrac{2h}{h}=2$

$f'(4^+)=\lim_{h\to 0^+}2=2$

$\textbf{ii) ¿La función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es derivable en } \boldsymbol{x = 4}\textbf{? ¿Es continua en } \boldsymbol{x = 4}\textbf{? Justifique la respuesta.}\ (2\ \text{puntos})$

Las dos derivadas laterales existen y coinciden:

$f'(4^-)=f'(4^+)=2$

Por tanto la función es derivable en $x=4$, y su derivada vale $f'(4)=2$.

Toda función derivable en un punto es continua en él, de modo que la función también es continua en $x=4$. Se comprueba directamente:

$\lim_{x\to 4^-}f(x)=\lim_{x\to 4^-}\left(x^2-6x+5\right)=16-24+5=-3$

$\lim_{x\to 4^+}f(x)=\lim_{x\to 4^+}\left(2x-11\right)=-3$

$f(4)=-3$

Los dos límites laterales coinciden con la imagen, así que la función es continua en $x=4$.

$\textbf{iii) Calcule la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int \sqrt{6x-1}\,dx}\ (4\ \text{puntos})$

Se escribe la raíz como una potencia de exponente fraccionario:

$\int\sqrt{6x-1}\,dx=\int (6x-1)^{1/2}\,dx$

Se ajusta la constante multiplicando y dividiendo por 6, que es la derivada de $6x-1$:

$\int (6x-1)^{1/2}\,dx=\dfrac{1}{6}\int 6\,(6x-1)^{1/2}\,dx=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{(6x-1)^{3/2}}{3/2}$

$\int\sqrt{6x-1}\,dx=\dfrac{1}{9}\sqrt{(6x-1)^3}+C$