Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa diseña y vende dos tipos de telas (T1 y T2) con un precio de venta de 60 euros/m² y 100 euros/m², respectivamente. Para cubrir la demanda semanal debe fabricar un total de al menos 15 m² de telas. Para elaborar un m² de tela T1 se necesitan 2 horas de máquina y 6 carretes de hilo. Para elaborar un m² de tela T2 se requieren 4 horas de máquina y 3 carretes de hilo. La disponibilidad semanal de estos dos recursos es de 80 horas de máquina y 150 carretes de hilo. ¿Cuántos m² de cada tipo de tela tiene que vender la empresa si busca maximizar el beneficio semanal, sabiendo que el coste de elaborar un m² de cada tipo de tela es 15 y 10 euros, respectivamente?

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se quiere elaborar al menos el triple de m² de tela T1 que de tela T2. (2 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a los metros cuadrados de tela T1 e $y$ a los de tela T2.

El beneficio de cada metro cuadrado es la diferencia entre el precio de venta y el coste de elaboración:

$60-15=45$ euros para la tela T1 y $100-10=90$ euros para la tela T2.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Horas de máquina}$	$\text{Carretes de hilo}$	$\text{Beneficio (€)}$
Tela T1 (x)	2x	6x	45x
Tela T2 (y)	4y	3y	90y
Totales	2x+4y	6x+3y	45x+90y

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio semanal:

$B(x,y)=45x+90y$

Las restricciones del problema son:

Hay que fabricar un total de al menos 15 m² $\Rightarrow$ $x+y\geq 15$.

Se dispone de 80 horas de máquina $\Rightarrow$ $2x+4y\leq 80$, que simplificando entre 2 queda $x+2y\leq 40$.

Se dispone de 150 carretes de hilo $\Rightarrow$ $6x+3y\leq 150$, que simplificando entre 3 queda $2x+y\leq 50$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+y\geq 15 \\ x+2y\leq 40 \\ 2x+y\leq 50 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente.}\ (4\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$x+y=15$, $x+2y=40$ y $2x+y=50$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$: $x=0$ con $x+y=15$ $\Rightarrow A(0,15)$.

Vértice $B$: $y=0$ con $x+y=15$ $\Rightarrow B(15,0)$.

Vértice $C$: $y=0$ con $2x+y=50$ $\Rightarrow C(25,0)$.

Vértice $D$:

$\begin{cases} x+2y=40 \\ 2x+y=50 \end{cases}$

Multiplicando la primera por 2 y restando: $3y=30 \Rightarrow y=10 \Rightarrow x=20 \Rightarrow D(20,10)$.

Vértice $E$: $x=0$ con $x+2y=40$ $\Rightarrow E(0,20)$.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$B(0,15)=1350$

$B(15,0)=675$

$B(25,0)=1125$

$B(20,10)=900+900=1800$

$B(0,20)=1800$

Los vértices $D$ y $E$ dan el mismo valor máximo. No es casualidad: la función objetivo se puede escribir como

$B(x,y)=45x+90y=45\,(x+2y)$

que es proporcional al primer miembro de la restricción $x+2y\leq 40$, de modo que sus rectas de nivel son paralelas a esa arista.

El beneficio máximo es de 1800 euros semanales y se alcanza en cualquier punto del segmento que une $D(20,10)$ con $E(0,20)$, es decir, siempre que se agoten las 80 horas de máquina. La solución no es única.

$\textbf{iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se quiere elaborar al menos el triple de m² de tela T1 que de tela T2.}\ (2\ \text{puntos})$

Se añadiría la restricción $x\geq 3y$, cuya recta pasa por el origen y deja fuera de la región factible el vértice $D(20,10)$, porque $20<3\cdot 10$.



Los vértices nuevos son:

$\begin{cases} x=3y \\ x+y=15 \end{cases} \Rightarrow 4y=15 \Rightarrow F(11{,}25;3{,}75)$

$\begin{cases} x=3y \\ 2x+y=50 \end{cases} \Rightarrow 7y=50 \Rightarrow G\left(\dfrac{150}{7},\dfrac{50}{7}\right)$

Se valora el beneficio en los vértices de la nueva región:

$B(11{,}25;3{,}75)=506{,}25+337{,}5=843{,}75$

$B(15,0)=675$

$B(25,0)=1125$

$B\left(\dfrac{150}{7},\dfrac{50}{7}\right)=\dfrac{6750+4500}{7}=\dfrac{11250}{7}\approx 1607{,}14$

El óptimo pasaría a ser único, el vértice $G$, con unos $21{,}43$ m² de tela T1 y $7{,}14$ m² de tela T2, y el beneficio bajaría de 1800 a unos 1607,14 euros semanales. Es lo esperable, porque la nueva condición obliga a fabricar sobre todo la tela menos rentable.