Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El peso (en toneladas) de los contenedores que transporta una empresa de servicios de transporte marítimo puede aproximarse a una distribución normal con desviación de 3 toneladas.

i) Se realizó un estudio tomando una muestra aleatoria simple de contenedores y se calculó un intervalo de confianza al 97% para la media poblacional, con un error máximo de 0.651. Calcule el tamaño de la muestra que se tomó en ese estudio. (5 puntos)

ii) Se decide realizar otro estudio y se selecciona una muestra de contenedores, obteniéndose los siguientes pesos (en toneladas): 20.25, 17.5, 21.8, 15.7, 14.6, 17.2, 23.1, 11.7, 18.3. Construya un intervalo de confianza para el peso medio de los contenedores, con un nivel de confianza del 93%. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

$\textbf{i) Se realizó un estudio tomando una muestra aleatoria simple de contenedores y se calculó un intervalo de confianza al 97 \% para la media poblacional, con un error máximo de 0.651. Calcule el tamaño de la muestra que se tomó en ese estudio.}\ (5\ \text{puntos})$

El error máximo de un intervalo de confianza para la media con desviación típica poblacional conocida es

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Con un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha=0{,}03$, luego $\alpha/2=0{,}015$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



Se despeja el tamaño muestral con $\sigma=3$ y $E=0{,}651$:

$\sqrt{n}=\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}=\dfrac{2{,}17\cdot 3}{0{,}651}=\dfrac{6{,}51}{0{,}651}=10$

$n=10^2=100$

En ese estudio se tomó una muestra de 100 contenedores.

$\textbf{ii) Se decide realizar otro estudio y se selecciona una muestra de contenedores, obteniéndose los siguientes pesos (en toneladas): 20.25, 17.5, 21.8, 15.7, 14.6, 17.2, 23.1, 11.7, 18.3. Construya un intervalo de confianza para el peso medio de los contenedores, con un nivel de confianza del 93 \%.}\ (5\ \text{puntos})$

Se calcula la media de los nueve pesos de la muestra:

$\overline{x}=\dfrac{20{,}25+17{,}5+21{,}8+15{,}7+14{,}6+17{,}2+23{,}1+11{,}7+18{,}3}{9}=\dfrac{160{,}15}{9}=17{,}79$

Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha=0{,}07$, luego $\alpha/2=0{,}035$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}035=0{,}965 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}81$



$E=1{,}81\cdot\dfrac{3}{\sqrt{9}}=1{,}81\cdot 1=1{,}81$

Los extremos del intervalo son:

$17{,}79-1{,}81=15{,}98$

$17{,}79+1{,}81=19{,}60$

El intervalo de confianza al 93 % para el peso medio de los contenedores es $(15{,}98;\ 19{,}60)$ toneladas.