Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2+3x+4}{x}$

i) Calcule los máximos y mínimos. (3 puntos)

ii) Calcule $\displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx$ (4 puntos)

iii) Calcule la derivada de la función $g(x)$, siendo $g(x) = f(x) + \ln(5x-3)^2 + xe^{3x}$ (3 puntos)

$\textbf{i) Calcule los máximos y mínimos.}\ (3\ \text{puntos})$

Antes de derivar conviene dividir término a término entre $x$:

$f(x)=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{3x}{x}+\dfrac{4}{x}=x+3+\dfrac{4}{x}$

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow 1=\dfrac{4}{x^2} \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$

Se recurre a la segunda derivada para clasificarlos:

$f''(x)=\dfrac{8}{x^3}$

$f''(2)=\dfrac{8}{8}=1>0 \Rightarrow$ mínimo relativo en $x=2$.

$f''(-2)=\dfrac{8}{-8}=-1<0 \Rightarrow$ máximo relativo en $x=-2$.



Se calculan las ordenadas:

$f(2)=2+3+\dfrac{4}{2}=7$

$f(-2)=-2+3+\dfrac{4}{-2}=-1$

La función presenta un mínimo relativo en $(2,7)$ y un máximo relativo en $(-2,-1)$.

$\textbf{ii) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx}\ (4\ \text{puntos})$

Se integra la función ya descompuesta:

$\int\left(x+3+\dfrac{4}{x}\right)dx=\dfrac{x^2}{2}+3x+4\ln|x|$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_1^2 f(x)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}+3x+4\ln|x|\right]_1^2$

$=\left(2+6+4\ln 2\right)-\left(\dfrac{1}{2}+3+4\ln 1\right)$

$=8+4\ln 2-\dfrac{7}{2}=\dfrac{9}{2}+4\ln 2\approx 7{,}27$

$\textbf{iii) Calcule la derivada de la función } \boldsymbol{g(x)}\textbf{, siendo } \boldsymbol{g(x) = f(x) + \ln(5x-3)^2 + xe^{3x}}\ (3\ \text{puntos})$

Se deriva sumando por sumando.

El primero es la función del apartado i):

$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}$

En el segundo se aplica primero la propiedad del logaritmo de una potencia, $\ln u^2=2\ln|u|$:

$\left(\ln(5x-3)^2\right)'=\left(2\ln|5x-3|\right)'=2\cdot\dfrac{5}{5x-3}=\dfrac{10}{5x-3}$

El tercero es un producto:

$\left(xe^{3x}\right)'=e^{3x}+x\cdot 3e^{3x}=e^{3x}(1+3x)$

Sumando los tres resultados:

$g'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{10}{5x-3}+e^{3x}(1+3x)$