Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

i) Clasifique el siguiente sistema en función del número de soluciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss.

$\begin{cases} x - y + z = 3 \\ 2x + y + z = 4 \\ 3x + 3y + z = 5 \end{cases}$ (7 puntos)

ii) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}$, calcule $AB$ e indique qué relación hay entre $A$ y $B$. (3 puntos)

$\textbf{i) Clasifique el siguiente sistema en función del número de soluciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss.}\ (7\ \text{puntos})$

Se escribe la matriz ampliada del sistema y se triangula.

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & 1 & 5 \end{array}\right)$

Se hacen ceros en la primera columna con $F_2-2F_1$ y $F_3-3F_1$:

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & -1 & -2 \\ 0 & 6 & -2 & -4 \end{array}\right)$

La tercera fila es el doble de la segunda, así que con $F_3-2F_2$ desaparece:

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

El rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada valen los dos 2, y el número de incógnitas es 3:

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

Se toma $z=\lambda$ y se despeja de abajo arriba.

De la segunda ecuación:

$3y-\lambda=-2 \Rightarrow y=\dfrac{\lambda-2}{3}$

De la primera:

$x-y+\lambda=3 \Rightarrow x=3+\dfrac{\lambda-2}{3}-\lambda=\dfrac{9+\lambda-2-3\lambda}{3}=\dfrac{7-2\lambda}{3}$

La solución del sistema es

$\begin{cases} x=\dfrac{7-2\lambda}{3} \\[4pt] y=\dfrac{\lambda-2}{3} \\[4pt] z=\lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{ii) Dadas las matrices } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{, calcule } \boldsymbol{AB}\textbf{ e indique qué relación hay entre } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Las dos matrices son cuadradas de orden 3, así que el producto existe y es de orden 3.

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$A\cdot B= \begin{pmatrix} -7+0+8 & -1+0+1 & 2+0-2 \\ 0+24-24 & 0+4-3 & 0-6+6 \\ -28+12+16 & -4+2+2 & 8-3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

El producto es la matriz identidad de orden 3, y lo mismo ocurre al multiplicar en el otro orden, $B\cdot A=I$.

Por definición de matriz inversa, $B=A^{-1}$: las dos matrices son inversas una de la otra.