Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El tiempo que la población de jóvenes de una región dedica mensualmente a hacer deporte sigue una distribución normal con varianza de 16 horas$^2$. El tiempo medio obtenido a partir de una muestra aleatoria de 64 jóvenes de dicha región es de 25.8 horas.

i) Calcule un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 97%. (5 puntos)

ii) Con los datos de esa muestra se ha calculado el siguiente intervalo de confianza para el tiempo medio que los jóvenes de dicha región dedican mensualmente a hacer deporte: $[24.9775,\ 26.6225]$. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

$\textbf{i) Calcule un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 97 \%.}\ (5\ \text{puntos})$

La población es normal y la varianza poblacional es conocida, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

De la varianza se obtiene la desviación típica:

$\sigma=\sqrt{16}=4$

Con un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha=0{,}03$, luego $\alpha/2=0{,}015$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



Se calcula el error máximo con $n=64$:

$E=2{,}17\cdot\dfrac{4}{\sqrt{64}}=2{,}17\cdot\dfrac{4}{8}=2{,}17\cdot 0{,}5=1{,}085$

Los extremos del intervalo son:

$25{,}8-1{,}085=24{,}715$

$25{,}8+1{,}085=26{,}885$

El intervalo de confianza al 97 % para el tiempo medio es $(24{,}715;\ 26{,}885)$ horas.

$\textbf{ii) Con los datos de esa muestra se ha calculado el siguiente intervalo de confianza para el tiempo medio que los jóvenes de dicha región dedican mensualmente a hacer deporte: } \boldsymbol{[24{,}9775,\ 26{,}6225]}\textbf{. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta.}\ (5\ \text{puntos})$

Se comprueba primero que el centro del intervalo es la misma media muestral:

$\dfrac{24{,}9775+26{,}6225}{2}=\dfrac{51{,}6}{2}=25{,}8$

El error máximo es la semiamplitud:

$E=\dfrac{26{,}6225-24{,}9775}{2}=\dfrac{1{,}645}{2}=0{,}8225$

Se despeja el valor crítico de la expresión del error máximo:

$0{,}8225=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{4}{\sqrt{64}}=z_{\alpha/2}\cdot 0{,}5$

$z_{\alpha/2}=\dfrac{0{,}8225}{0{,}5}=1{,}645$

Se busca ese valor en la tabla de la normal estándar. Cae entre dos filas, $P(Z<1{,}64)=0{,}9495$ y $P(Z<1{,}65)=0{,}9505$, cuyo punto medio es

$P(Z<1{,}645)=0{,}95 \Rightarrow 1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}05 \Rightarrow \alpha=0{,}10$



El nivel de confianza del intervalo es $1-\alpha=0{,}90$, es decir, del 90 %. Es coherente con el apartado anterior: al ser más estrecho que el del 97 %, corresponde a una confianza menor.