Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Sea la función $y = x^3 - 3x^2$.

i) Calcule los puntos de corte con los ejes. (1 punto)

ii) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Calcule los máximos y mínimos. (3 puntos)

iii) Dibuje el recinto limitado por la función y el eje OX. (2 puntos)

iv) Calcule el área de dicho recinto. (4 puntos)

$\textbf{i) Calcule los puntos de corte con los ejes.}\ (1\ \text{punto})$

Corte con el eje $OY$: se hace $x=0$.

$y=0^3-3\cdot 0^2=0 \Rightarrow (0,0)$

Cortes con el eje $OX$: se hace $y=0$.

$x^3-3x^2=0 \Rightarrow x^2(x-3)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=3 \end{cases}$

Los puntos de corte son $(0,0)$ y $(3,0)$.

$\textbf{ii) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Calcule los máximos y mínimos.}\ (3\ \text{puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$

$y'=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \end{cases}$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos:

$y'(-1)=3+6=9>0$, la función crece.

$y'(1)=3-6=-3<0$, la función decrece.

$y'(3)=27-18=9>0$, la función crece.



La función crece en $(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$ y decrece en $(0,2)$.

En $x=0$ la derivada pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo relativo en $(0,0)$.

En $x=2$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo:

$y(2)=8-12=-4 \Rightarrow (2,-4)$

$\textbf{iii) Dibuje el recinto limitado por la función y el eje OX.}\ (2\ \text{puntos})$

El recinto queda entre los dos cortes con el eje de abscisas, $x=0$ y $x=3$. En ese intervalo la función es negativa, porque $x^2>0$ y $x-3<0$, así que la curva va por debajo del eje y lo toca en los dos extremos.



$\textbf{iv) Calcule el área de dicho recinto.}\ (4\ \text{puntos})$

Como la función es negativa en todo el intervalo, la integral sale negativa y el área es su valor absoluto.

$\int_0^3\left(x^3-3x^2\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-x^3\right]_0^3=\dfrac{81}{4}-27=\dfrac{81-108}{4}=-\dfrac{27}{4}$

$A=\left|-\dfrac{27}{4}\right|=\dfrac{27}{4}$

El área del recinto es $\dfrac{27}{4}=6{,}75$ unidades de área.