Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa fabrica dos tipos de biocombustibles a partir de aceites vegetales (T1 y T2) y vende cada tonelada de biocombustible a un precio de 2000 euros y 1800 euros, respectivamente. Cada tonelada de biocombustible T1 requiere 3 horas de proceso en la línea de producción y 2 unidades de materia prima. Cada tonelada de biocombustible T2 requiere 1 hora de proceso en la línea de producción y 4 unidades de materia prima. Cada semana la empresa dispone de 195 unidades de materia prima y de 90 horas de tiempo de proceso en la línea de producción. Determine cuántas toneladas de cada tipo de biocombustible se deberá fabricar semanalmente para maximizar el precio total de venta, sabiendo que además se desea fabricar un total de al menos 40 toneladas de biocombustible.

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se considerara un objetivo de tipo ecológico, y se deseara minimizar el nivel de contaminación asociado a este proceso de producción, sabiendo que fabricar una tonelada de biocombustible T1 produce 5 unidades de contaminación y fabricar una tonelada de biocombustible T2 produce 10 unidades de contaminación. (2 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a las toneladas semanales de biocombustible T1 e $y$ a las de T2.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Horas de proceso}$	$\text{Materia prima}$	$\text{Precio de venta (€)}$
Biocombustible T1 (x)	3x	2x	2000x
Biocombustible T2 (y)	y	4y	1800y
Totales	3x+y	2x+4y	2000x+1800y

La función objetivo que se desea maximizar es el precio total de venta:

$P(x,y)=2000x+1800y$

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 90 horas semanales de proceso $\Rightarrow$ $3x+y\leq 90$.

Se dispone de 195 unidades semanales de materia prima $\Rightarrow$ $2x+4y\leq 195$.

Se desea fabricar un total de al menos 40 toneladas $\Rightarrow$ $x+y\geq 40$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 3x+y\leq 90 \\ 2x+4y\leq 195 \\ x+y\geq 40 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente.}\ (4\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$3x+y=90$, $2x+4y=195$ y $x+y=40$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$: $x=0$ con $x+y=40$ $\Rightarrow A(0,40)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases} x+y=40 \\ 3x+y=90 \end{cases}$

Restando la primera de la segunda: $2x=50 \Rightarrow x=25 \Rightarrow y=15 \Rightarrow B(25,15)$.

Vértice $C$:

$\begin{cases} 3x+y=90 \\ 2x+4y=195 \end{cases}$

Se despeja $y=90-3x$ y se sustituye: $2x+360-12x=195 \Rightarrow -10x=-165 \Rightarrow x=16{,}5 \Rightarrow y=40{,}5 \Rightarrow C(16{,}5;40{,}5)$.

Vértice $D$: $x=0$ con $2x+4y=195$ $\Rightarrow y=48{,}75 \Rightarrow D(0;48{,}75)$.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$P(0,40)=1800\cdot 40=72000$

$P(25,15)=50000+27000=77000$

$P(16{,}5;40{,}5)=33000+72900=105900$

$P(0;48{,}75)=1800\cdot 48{,}75=87750$

El precio total de venta máximo se produce en el vértice $C(16{,}5;40{,}5)$.

La empresa debe fabricar semanalmente 16,5 toneladas de biocombustible T1 y 40,5 toneladas de T2, con lo que el precio total de venta asciende a $105\,900$ euros.

$\textbf{iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se considerara un objetivo de tipo ecológico, y se deseara minimizar el nivel de contaminación asociado a este proceso de producción, sabiendo que fabricar una tonelada de biocombustible T1 produce 5 unidades de contaminación y fabricar una tonelada de biocombustible T2 produce 10 unidades de contaminación.}\ (2\ \text{puntos})$

La región factible no cambia, porque las restricciones son las mismas. Lo que cambia es la función objetivo, que pasa a ser

$C(x,y)=5x+10y$

y ahora se busca su mínimo. Se valora en los mismos vértices:

$C(0,40)=400$

$C(25,15)=125+150=275$

$C(16{,}5;40{,}5)=82{,}5+405=487{,}5$

$C(0;48{,}75)=487{,}5$

El óptimo se desplazaría al vértice $B(25,15)$: se fabricarían 25 toneladas de T1 y 15 de T2, con 275 unidades de contaminación. El objetivo ecológico y el económico llevan a producciones distintas, porque el biocombustible más rentable, el T2, es también el que más contamina por tonelada.