Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Una empresa tecnológica clasifica a sus 40 empleados en tres secciones: Portátiles (16 empleados), Telefonía (20 empleados) y Sonido (4 empleados). El 25% de los trabajadores de la sección Portátiles, el 40% de Telefonía y 3 trabajadores de Sonido tienen titulación C1 en inglés. Se selecciona al azar un empleado de la empresa.

i) Calcule la probabilidad de que no tenga titulación C1 en inglés y trabaje en la sección de Sonido. (3 puntos)

ii) Calcule la probabilidad de que trabaje en la sección de Telefonía, sabiendo que tiene titulación C1 en inglés. (3.5 puntos)

iii) Consideremos los sucesos A "el empleado trabaja en la sección Portátiles" y el suceso B "el empleado tiene titulación C1 en inglés". Compruebe si los sucesos A y B son o no independientes. (3.5 puntos)

$\textbf{i) Calcule la probabilidad de que no tenga titulación C1 en inglés y trabaje en la sección de Sonido.}\ (3\ \text{puntos})$

Se nombran los sucesos $P \equiv$ trabajar en Portátiles, $T \equiv$ trabajar en Telefonía, $S \equiv$ trabajar en Sonido y $C \equiv$ tener titulación C1 en inglés.

Se cuentan primero los trabajadores con C1 de cada sección:

$0{,}25\cdot 16=4$ de Portátiles, $0{,}40\cdot 20=8$ de Telefonía y 3 de Sonido.

Se hace un diagrama de árbol.



En la sección de Sonido hay 4 empleados y 3 tienen la titulación, luego solo uno no la tiene.

$P(\overline{C}\cap S)=\dfrac{1}{40}=0{,}025$

La probabilidad de que el empleado elegido no tenga titulación C1 y trabaje en Sonido es $0{,}025$.

$\textbf{ii) Calcule la probabilidad de que trabaje en la sección de Telefonía, sabiendo que tiene titulación C1 en inglés.}\ (3{,}5\ \text{puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes.

$P(T/C)=\dfrac{P(T)\cdot P(C/T)}{P(C)}$

Por el teorema de la probabilidad total:

$P(C)=\dfrac{16}{40}\cdot 0{,}25+\dfrac{20}{40}\cdot 0{,}40+\dfrac{4}{40}\cdot\dfrac{3}{4} =\dfrac{4+8+3}{40}=\dfrac{15}{40}$

$P(T/C)=\dfrac{\dfrac{8}{40}}{\dfrac{15}{40}}=\dfrac{8}{15}\approx 0{,}5333$

Sabiendo que tiene titulación C1, la probabilidad de que trabaje en Telefonía es $\dfrac{8}{15}\approx 0{,}5333$.

$\textbf{iii) Consideremos los sucesos A "el empleado trabaja en la sección Portátiles" y el suceso B "el empleado tiene titulación C1 en inglés". Compruebe si los sucesos A y B son o no independientes.}\ (3{,}5\ \text{puntos})$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades.

$P(A)=\dfrac{16}{40}=0{,}4;\qquad P(B)=\dfrac{15}{40}=0{,}375$

$P(A\cap B)=\dfrac{4}{40}=0{,}1$

$P(A)\cdot P(B)=0{,}4\cdot 0{,}375=0{,}15$

Como $0{,}1\neq 0{,}15$, los sucesos $A$ y $B$ no son independientes. Dicho de otro modo, en Portátiles la proporción de titulados C1 es del 25 %, menor que el 37,5 % del conjunto de la empresa.