Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

i) Calcule el valor de los parámetros de la función $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c$, sabiendo que tiene un extremo relativo en el punto $(-1,0)$ y un punto de inflexión en el punto $x = 1/3$. (5 puntos)

ii) Calcule las asíntotas de la función $f(x) = \dfrac{3x^2+1}{x-2}$ (5 puntos)

$\textbf{i) Calcule el valor de los parámetros de la función } \boldsymbol{f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c}\textbf{, sabiendo que tiene un extremo relativo en el punto } \boldsymbol{(-1,0)}\textbf{ y un punto de inflexión en el punto } \boldsymbol{x = 1/3}\textbf{.}\ (5\ \text{puntos})$

Cada condición del enunciado da una ecuación: el punto pertenece a la gráfica, la derivada se anula en él y la segunda derivada se anula en el punto de inflexión.

Se calculan las dos primeras derivadas:

$f'(x)=-3x^2+2ax+b$

$f''(x)=-6x+2a$

Punto de inflexión en $x=\dfrac{1}{3}$:

$f''\left(\dfrac{1}{3}\right)=0 \Rightarrow -2+2a=0 \Rightarrow a=1$

Extremo relativo en $x=-1$:

$f'(-1)=0 \Rightarrow -3-2a+b=0 \Rightarrow b=3+2a=5$

La gráfica pasa por $(-1,0)$:

$f(-1)=0 \Rightarrow 1+a-b+c=0 \Rightarrow 1+1-5+c=0 \Rightarrow c=3$

Los parámetros son $a=1$, $b=5$ y $c=3$, de modo que la función es

$f(x)=-x^3+x^2+5x+3$

$\textbf{ii) Calcule las asíntotas de la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{3x^2+1}{x-2}}\ (5\ \text{puntos})$

Asíntotas verticales. Se buscan los valores que anulan el denominador:

$x-2=0 \Rightarrow x=2$

El numerador en ese punto vale $3\cdot 4+1=13\neq 0$, así que sí hay asíntota vertical.

$\lim_{x\to 2^-}\dfrac{3x^2+1}{x-2}=\dfrac{13}{0^-}=-\infty;\qquad \lim_{x\to 2^+}\dfrac{3x^2+1}{x-2}=\dfrac{13}{0^+}=+\infty$

La recta $x=2$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal. El grado del numerador es mayor que el del denominador:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2+1}{x-2}=\pm\infty$

No hay asíntota horizontal, pero como el grado del numerador supera en una unidad al del denominador sí puede haber asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-2x}=3$

$n=\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-3x\right)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1-3x(x-2)}{x-2} =\lim_{x\to\infty}\dfrac{6x+1}{x-2}=6$

La recta $y=3x+6$ es asíntota oblicua.