Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Un estudio concluye que el tiempo que tarda un fumador en dejar de fumar se ajusta a una distribución normal. Con una muestra de 144 exfumadores, se ha calculado el siguiente intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio (en meses) en dejar de fumar: $[9.58875,\ 10.41125]$.

i) Calcule la varianza poblacional y calcule el tiempo medio en dejar de fumar para la muestra de los 144 exfumadores. (5 puntos)

ii) Construya un intervalo de confianza al 94% para el tiempo medio en dejar de fumar. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

$\textbf{i) Calcule la varianza poblacional y calcule el tiempo medio en dejar de fumar para la muestra de los 144 exfumadores.}\ (5\ \text{puntos})$

El intervalo de confianza para la media es de la forma $\left(\overline{x}-E,\ \overline{x}+E\right)$, así que la media muestral es su centro:

$\overline{x}=\dfrac{9{,}58875+10{,}41125}{2}=\dfrac{20}{2}=10$

y el error máximo su semiamplitud:

$E=\dfrac{10{,}41125-9{,}58875}{2}=\dfrac{0{,}8225}{2}=0{,}41125$

Con un nivel de confianza del 90 % se tiene $\alpha=0{,}10$, luego $\alpha/2=0{,}05$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}05=0{,}95$

Ese valor cae entre dos filas de la tabla, $P(Z<1{,}64)=0{,}9495$ y $P(Z<1{,}65)=0{,}9505$, así que se toma el punto medio $z_{\alpha/2}=1{,}645$.



De la expresión del error máximo se despeja la desviación típica:

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow 0{,}41125=1{,}645\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{144}}=1{,}645\cdot\dfrac{\sigma}{12}$

$\sigma=\dfrac{0{,}41125\cdot 12}{1{,}645}=\dfrac{4{,}935}{1{,}645}=3$

$\sigma^2=3^2=9$

La varianza poblacional es de $9$ meses² y el tiempo medio de la muestra es de 10 meses.

$\textbf{ii) Construya un intervalo de confianza al 94 \% para el tiempo medio en dejar de fumar.}\ (5\ \text{puntos})$

Se mantienen la media muestral $\overline{x}=10$, la desviación típica $\sigma=3$ y el tamaño $n=144$, y solo cambia el valor crítico.

Con un nivel de confianza del 94 % se tiene $\alpha=0{,}06$, luego $\alpha/2=0{,}03$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}03=0{,}97 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}88$



$E=1{,}88\cdot\dfrac{3}{\sqrt{144}}=1{,}88\cdot\dfrac{3}{12}=1{,}88\cdot 0{,}25=0{,}47$

Los extremos del intervalo son:

$10-0{,}47=9{,}53$

$10+0{,}47=10{,}47$

El intervalo de confianza al 94 % para el tiempo medio en dejar de fumar es $(9{,}53;\ 10{,}47)$ meses. Es más ancho que el del 90 %, como corresponde a un nivel de confianza mayor sobre la misma muestra.