Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En una pequeña localidad hay 25 candidatos para realizar una actividad de voluntariado, de los que el 60% son estudiantes, el 32% son jubilados y el resto trabajadores. Se seleccionan al azar tres candidatos distintos. Calcule:

i) La probabilidad de que todos ellos sean jubilados. (3 puntos)

ii) La probabilidad de que sean dos estudiantes y un trabajador. (3.5 puntos)

iii) La probabilidad de que alguno de ellos sea trabajador. (3.5 puntos)

$\textbf{i) La probabilidad de que todos ellos sean jubilados.}\ (3\ \text{puntos})$

Se reparten primero los 25 candidatos:

$0{,}60\cdot 25=15$ estudiantes,

$0{,}32\cdot 25=8$ jubilados,

$25-15-8=2$ trabajadores.

Se eligen tres candidatos distintos y el orden no importa, así que se cuentan combinaciones. El número total de casos posibles es

$\binom{25}{3}=\dfrac{25\cdot 24\cdot 23}{6}=2300$

Los casos favorables son las formas de elegir 3 de los 8 jubilados:

$\binom{8}{3}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56$

$P(\text{los tres jubilados})=\dfrac{56}{2300}=\dfrac{14}{575}\approx 0{,}0243$

$\textbf{ii) La probabilidad de que sean dos estudiantes y un trabajador.}\ (3{,}5\ \text{puntos})$

Los casos favorables son elegir 2 de los 15 estudiantes y 1 de los 2 trabajadores.

$\binom{15}{2}=\dfrac{15\cdot 14}{2}=105;\qquad \binom{2}{1}=2$

$P(\text{dos estudiantes y un trabajador})=\dfrac{105\cdot 2}{2300}=\dfrac{210}{2300}=\dfrac{21}{230}\approx 0{,}0913$

$\textbf{iii) La probabilidad de que alguno de ellos sea trabajador.}\ (3{,}5\ \text{puntos})$

El suceso «alguno es trabajador» es el contrario de «ninguno es trabajador», que se cuenta eligiendo los tres entre los $25-2=23$ candidatos que no lo son.

$\binom{23}{3}=\dfrac{23\cdot 22\cdot 21}{6}=1771$

$P(\text{ninguno trabajador})=\dfrac{1771}{2300}$

$P(\text{alguno trabajador})=1-\dfrac{1771}{2300}=\dfrac{529}{2300}=\dfrac{23}{100}=0{,}23$

La probabilidad de que alguno de los tres elegidos sea trabajador es $0{,}23$.