Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & x \leq 2 \\ -x^2 + 6x - 8 & x > 2 \end{cases}$

i) Estudie la continuidad de la función $f(x)$. (3 puntos)

ii) Represente gráficamente la función $f(x)$. (3 puntos)

iii) Calcule el área de la región limitada por la curva $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[3,4]$. (4 puntos)

$\textbf{i) Estudie la continuidad de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Los dos trozos son polinomios, continuos en todo su dominio, así que solo hay que estudiar el punto de empalme $x=2$.

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}\left(x^2-2x\right)=4-4=0$

$\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\left(-x^2+6x-8\right)=-4+12-8=0$

$f(2)=2^2-2\cdot 2=0$

Los dos límites laterales coinciden con la imagen, de modo que la función es continua en $x=2$.

La función $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

$\textbf{ii) Represente gráficamente la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Se estudia cada trozo por separado.

El primero, $x^2-2x$, es una parábola con las ramas hacia arriba, que corta al eje $OX$ en $x=0$ y $x=2$ y tiene el vértice en

$x=-\dfrac{-2}{2}=1 \Rightarrow f(1)=1-2=-1 \Rightarrow (1,-1)$

De esa parábola se dibuja solo el trozo con $x\leq 2$.

El segundo, $-x^2+6x-8$, es una parábola con las ramas hacia abajo, que corta al eje $OX$ en $x=2$ y $x=4$ y tiene el vértice en

$x=-\dfrac{6}{-2}=3 \Rightarrow f(3)=-9+18-8=1 \Rightarrow (3,1)$

De esa parábola se dibuja solo el trozo con $x>2$. Las dos se enlazan en $(2,0)$ sin salto.



$\textbf{iii) Calcule el área de la región limitada por la curva } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y el eje de abscisas en el intervalo } \boldsymbol{[3,4]}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

En el intervalo $[3,4]$ rige el segundo trozo, que es positivo en $(2,4)$ y se anula en $x=4$. Como la función no cambia de signo dentro del intervalo, el área es directamente la integral definida.



$A=\int_3^4\left(-x^2+6x-8\right)dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+3x^2-8x\right]_3^4$

$A=\left(-\dfrac{64}{3}+48-32\right)-\left(-9+27-24\right)=\left(-\dfrac{64}{3}+16\right)-(-6)$

$A=-\dfrac{16}{3}+6=\dfrac{-16+18}{3}=\dfrac{2}{3}$

El área de la región es $\dfrac{2}{3}\approx 0{,}67$ unidades de área.