Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Sean las funciones $f(x) = -x^2 - 9x + 10$ y $g(x) = 2x^2 - x^3$.

i) Determine, para la función $g(x)$, los puntos de corte con los ejes, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. (6 puntos)

ii) Determine el mínimo de la función $h(x) = f(x) - g(x)$. (4 puntos)

$\textbf{i) Determine, para la función } \boldsymbol{g(x)}\textbf{, los puntos de corte con los ejes, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.}\ (6\ \text{puntos})$

Corte con el eje $OY$: se hace $x=0$.

$g(0)=0 \Rightarrow (0,0)$

Cortes con el eje $OX$: se hace $g(x)=0$.

$2x^2-x^3=0 \Rightarrow x^2(2-x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \end{cases}$

Los puntos de corte son $(0,0)$ y $(2,0)$.

La curvatura la da el signo de la segunda derivada.

$g'(x)=4x-3x^2$

$g''(x)=4-6x$

$g''(x)=0 \Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$

Se estudia el signo a un lado y a otro:

$g''(0)=4>0$, la función es convexa.

$g''(1)=-2<0$, la función es cóncava.



La función es convexa en $\left(-\infty,\dfrac{2}{3}\right)$ y cóncava en $\left(\dfrac{2}{3},+\infty\right)$.

Como la segunda derivada cambia de signo en $x=\dfrac{2}{3}$, ahí hay un punto de inflexión:

$g\left(\dfrac{2}{3}\right)=2\cdot\dfrac{4}{9}-\dfrac{8}{27}=\dfrac{24-8}{27}=\dfrac{16}{27}$

El punto de inflexión es $\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{16}{27}\right)$.

$\textbf{ii) Determine el mínimo de la función } \boldsymbol{h(x) = f(x) - g(x)}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Se construye primero la función $h(x)$:

$h(x)=\left(-x^2-9x+10\right)-\left(2x^2-x^3\right)=x^3-3x^2-9x+10$

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$h'(x)=3x^2-6x-9=3\left(x^2-2x-3\right)=3(x-3)(x+1)$

$h'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ x=3 \end{cases}$

Se recurre a la segunda derivada para clasificarlos:

$h''(x)=6x-6$

$h''(-1)=-12<0 \Rightarrow$ máximo relativo en $x=-1$.

$h''(3)=12>0 \Rightarrow$ mínimo relativo en $x=3$.



Se calcula la ordenada del mínimo:

$h(3)=27-27-27+10=-17$

La función $h(x)$ presenta un mínimo en el punto $(3,-17)$.