Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Se están considerando dos alimentos (A y B) que contienen tres nutrientes. Cada kg de A contiene 0.1 kg de grasas, 0.6 kg de hidratos de carbono y 0.3 kg de proteínas. Cada kg de B tiene 0.2 kg de grasas, 0.3 kg de hidratos de carbono y 0.5 kg de proteínas. El precio de un kg del alimento A es de 10 euros. El alimento B cuesta el triple que A. Se desea conseguir al menos 18 kg de hidratos de carbono, al menos 15 kg de proteínas y no más de 10 kg de grasas. Se desea además no comprar más de 75 kg de A. Determine cuántos kg de cada alimento hay que adquirir para minimizar el coste total de la compra.

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se deseara maximizar la cantidad de una vitamina, sabiendo que cada kg de A tiene 1.5 unidades y cada kg de B tiene 2 unidades de dicha vitamina. (2 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a los kilogramos que se compran del alimento A e $y$ a los del alimento B. El alimento B cuesta el triple que el A, es decir, $3\cdot 10=30$ euros el kilo.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Grasas (kg)}$	$\text{Hidratos (kg)}$	$\text{Proteínas (kg)}$	$\text{Coste (€)}$
Alimento A (x)	0{,}1x	0{,}6x	0{,}3x	10x
Alimento B (y)	0{,}2y	0{,}3y	0{,}5y	30y
Totales	0{,}1x+0{,}2y	0{,}6x+0{,}3y	0{,}3x+0{,}5y	10x+30y

La función objetivo que se desea minimizar es el coste total de la compra:

$C(x,y)=10x+30y$

Las restricciones del problema son:

Se quieren al menos 18 kg de hidratos de carbono $\Rightarrow$ $0{,}6x+0{,}3y\geq 18$, que multiplicando por $\dfrac{10}{3}$ queda $2x+y\geq 60$.

Se quieren al menos 15 kg de proteínas $\Rightarrow$ $0{,}3x+0{,}5y\geq 15$, que multiplicando por 10 queda $3x+5y\geq 150$.

No se quieren más de 10 kg de grasas $\Rightarrow$ $0{,}1x+0{,}2y\leq 10$, que multiplicando por 10 queda $x+2y\leq 100$.

No se compran más de 75 kg del alimento A $\Rightarrow$ $x\leq 75$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 2x+y\geq 60 \\ 3x+5y\geq 150 \\ x+2y\leq 100 \\ x\leq 75 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente.}\ (4\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$2x+y=60$, $3x+5y=150$, $x+2y=100$ y $x=75$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$: $y=0$ con $3x+5y=150$ $\Rightarrow A(50,0)$.

Vértice $B$: $y=0$ con $x=75$ $\Rightarrow B(75,0)$.

Vértice $C$: $x=75$ con $x+2y=100$ $\Rightarrow 2y=25 \Rightarrow C(75;12{,}5)$.

Vértice $D$:

$\begin{cases} x+2y=100 \\ 2x+y=60 \end{cases} \Rightarrow 2(100-2y)+y=60 \Rightarrow 200-3y=60 \Rightarrow y=\dfrac{140}{3} \Rightarrow x=\dfrac{20}{3} \Rightarrow D\left(\dfrac{20}{3},\dfrac{140}{3}\right)$

Vértice $E$:

$\begin{cases} 2x+y=60 \\ 3x+5y=150 \end{cases} \Rightarrow 3x+5(60-2x)=150 \Rightarrow 300-7x=150 \Rightarrow x=\dfrac{150}{7} \Rightarrow y=\dfrac{120}{7} \Rightarrow E\left(\dfrac{150}{7},\dfrac{120}{7}\right)$

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del mínimo:

$C(50,0)=500$

$C(75,0)=750$

$C(75;12{,}5)=750+375=1125$

$C\left(\dfrac{20}{3},\dfrac{140}{3}\right)=\dfrac{200+4200}{3}=\dfrac{4400}{3}\approx 1466{,}67$

$C\left(\dfrac{150}{7},\dfrac{120}{7}\right)=\dfrac{1500+3600}{7}=\dfrac{5100}{7}\approx 728{,}57$

El coste mínimo se produce en el vértice $A(50,0)$.

Hay que comprar 50 kg del alimento A y nada del alimento B, con un coste total mínimo de 500 euros. Con esa compra se consiguen $0{,}6\cdot 50=30$ kg de hidratos, $0{,}3\cdot 50=15$ kg de proteínas (justo el mínimo exigido) y solo $0{,}1\cdot 50=5$ kg de grasas.

$\textbf{iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se deseara maximizar la cantidad de una vitamina, sabiendo que cada kg de A tiene 1.5 unidades y cada kg de B tiene 2 unidades de dicha vitamina.}\ (2\ \text{puntos})$

La región factible no cambia, porque las restricciones son las mismas. Lo que cambia es la función objetivo, que pasa a ser

$V(x,y)=1{,}5x+2y$

y ahora se busca su máximo. Se valora en los mismos vértices:

$V(50,0)=75$

$V(75,0)=112{,}5$

$V(75;12{,}5)=112{,}5+25=137{,}5$

$V\left(\dfrac{20}{3},\dfrac{140}{3}\right)=10+\dfrac{280}{3}=\dfrac{310}{3}\approx 103{,}33$

$V\left(\dfrac{150}{7},\dfrac{120}{7}\right)=\dfrac{225+240}{7}=\dfrac{465}{7}\approx 66{,}43$

El óptimo se desplazaría al vértice $C(75;12{,}5)$: habría que comprar 75 kg del alimento A y 12,5 kg del B, con lo que se conseguirían 137,5 unidades de vitamina. La solución cambia por completo respecto al apartado anterior, porque ahora interesa comprar la mayor cantidad posible de alimento y no la más barata.