Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

El gasto (en euros) por cliente en un supermercado sigue una distribución normal con varianza 64. Se selecciona una muestra de clientes, obteniéndose los siguientes gastos: 49.8, 34.4, 42.1, 55.7, 54.9, 53, 54.6, 53.3, 68.9 y 42.4

i) Calcule un intervalo de confianza al 93% para el gasto medio. (5 puntos)

ii) Determine el tamaño de la muestra necesario para que el error máximo se reduzca a la mitad. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

$\textbf{i) Calcule un intervalo de confianza al 93 \% para el gasto medio.}\ (5\ \text{puntos})$

La población es normal y la varianza poblacional es conocida, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

De la varianza se obtiene la desviación típica:

$\sigma=\sqrt{64}=8$

Se calcula la media de los diez datos de la muestra:

$\overline{x}=\dfrac{49{,}8+34{,}4+42{,}1+55{,}7+54{,}9+53+54{,}6+53{,}3+68{,}9+42{,}4}{10}=\dfrac{509{,}1}{10}=50{,}91$

Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha=0{,}07$, luego $\alpha/2=0{,}035$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}035=0{,}965 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}81$



$E=1{,}81\cdot\dfrac{8}{\sqrt{10}}=1{,}81\cdot 2{,}5298=4{,}58$

Los extremos del intervalo son:

$50{,}91-4{,}58=46{,}33$

$50{,}91+4{,}58=55{,}49$

El intervalo de confianza al 93 % para el gasto medio por cliente es $(46{,}33;\ 55{,}49)$ euros.

$\textbf{ii) Determine el tamaño de la muestra necesario para que el error máximo se reduzca a la mitad.}\ (5\ \text{puntos})$

El error máximo es

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha/2}$ y $\sigma$ se mantienen, de modo que el error es inversamente proporcional a $\sqrt{n}$. Para reducirlo a la mitad hay que duplicar $\sqrt{n}$, es decir, multiplicar el tamaño de la muestra por 4.

Se comprueba despejando. El nuevo error es $E'=\dfrac{4{,}58}{2}=2{,}29$ y

$n'=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E'}\right)^2=\left(\dfrac{1{,}81\cdot 8}{2{,}29}\right)^2=\left(6{,}3246\right)^2=40$

Habría que tomar una muestra de 40 clientes, cuatro veces la inicial.