Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

i) Calcule las asíntotas de la función $f(x) = \dfrac{2x^2+5}{x+1}$. (5 puntos)

ii) Calcule la primitiva de la función $f(x) = (2x+1)^3$, sabiendo que $F(0) = 9/8$. (5 puntos)

$\textbf{i) Calcule las asíntotas de la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{2x^2+5}{x+1}}\textbf{.}\ (5\ \text{puntos})$

Asíntotas verticales. Se buscan los valores que anulan el denominador:

$x+1=0 \Rightarrow x=-1$

El numerador en ese punto vale $2+5=7\neq 0$, así que sí hay asíntota vertical.

$\lim_{x\to-1^-}\dfrac{2x^2+5}{x+1}=\dfrac{7}{0^-}=-\infty;\qquad \lim_{x\to-1^+}\dfrac{2x^2+5}{x+1}=\dfrac{7}{0^+}=+\infty$

La recta $x=-1$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal. El grado del numerador es mayor que el del denominador:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+5}{x+1}=\pm\infty$

No hay asíntota horizontal, pero como el grado del numerador supera en una unidad al del denominador sí puede haber asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+5}{x^2+x}=2$

$n=\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-2x\right)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+5-2x(x+1)}{x+1} =\lim_{x\to\infty}\dfrac{5-2x}{x+1}=-2$

La recta $y=2x-2$ es asíntota oblicua.

$\textbf{ii) Calcule la primitiva de la función } \boldsymbol{f(x) = (2x+1)^3}\textbf{, sabiendo que } \boldsymbol{F(0) = 9/8}\textbf{.}\ (5\ \text{puntos})$

Se integra como una potencia, ajustando la constante 2 que es la derivada de la base.

$\int (2x+1)^3\,dx=\dfrac{1}{2}\int 2(2x+1)^3\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2x+1)^4}{4}=\dfrac{(2x+1)^4}{8}+C$

Se determina la constante con la condición $F(0)=\dfrac{9}{8}$:

$F(0)=\dfrac{(2\cdot 0+1)^4}{8}+C=\dfrac{1}{8}+C=\dfrac{9}{8}$

$C=\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{8}=1$

La primitiva pedida es

$F(x)=\dfrac{(2x+1)^4}{8}+1$