Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sean las funciones $f(x) = \dfrac{x^2+4x+3}{2x-2}$ y $g(x) = 2x^2 + ax + 1$.

i) Estudie la continuidad de la función $f(x)$ y, en su caso, indique el tipo de discontinuidad. (3 puntos)

ii) Calcule el valor del parámetro $a$ para que $g(x)$ tenga un mínimo en $x = 1/2$. (3 puntos)

iii) Calcule $g'(1)$ aplicando la definición de derivada, para el valor del parámetro $a = -1$. (4 puntos)

$\textbf{i) Estudie la continuidad de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y, en su caso, indique el tipo de discontinuidad.}\ (3\ \text{puntos})$

La función es un cociente de polinomios, así que es continua en todos los puntos en los que no se anula el denominador.

$2x-2=0 \Rightarrow x=1$

El dominio es $\mathbb{R}-\{1\}$. En $x=1$ el numerador no se anula:

$1^2+4\cdot 1+3=8\neq 0$

de modo que los límites laterales son infinitos.

$\lim_{x\to 1^-}\dfrac{x^2+4x+3}{2x-2}=\dfrac{8}{0^-}=-\infty;\qquad \lim_{x\to 1^+}\dfrac{x^2+4x+3}{2x-2}=\dfrac{8}{0^+}=+\infty$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{1\}$ y presenta en $x=1$ una discontinuidad de salto infinito: la recta $x=1$ es asíntota vertical.

$\textbf{ii) Calcule el valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ tenga un mínimo en } \boldsymbol{x = 1/2}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

En un extremo relativo la derivada se anula, así que se deriva y se impone esa condición.

$g'(x)=4x+a$

$g'\left(\dfrac{1}{2}\right)=0 \Rightarrow 4\cdot\dfrac{1}{2}+a=0 \Rightarrow 2+a=0 \Rightarrow a=-2$

Se comprueba que efectivamente es un mínimo con la segunda derivada:

$g''(x)=4>0$

Al ser la segunda derivada positiva, la función presenta un mínimo. El parámetro vale $a=-2$.

$\textbf{iii) Calcule } \boldsymbol{g'(1)}\textbf{ aplicando la definición de derivada, para el valor del parámetro } \boldsymbol{a = -1}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Con $a=-1$ la función es

$g(x)=2x^2-x+1$

La definición de derivada en un punto es

$g'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}$

Se calculan las dos imágenes que intervienen:

$g(1)=2-1+1=2$

$g(1+h)=2(1+h)^2-(1+h)+1=2\left(1+2h+h^2\right)-1-h+1$

$g(1+h)=2+4h+2h^2-h=2+3h+2h^2$

Se forma el cociente incremental y se simplifica:

$\dfrac{g(1+h)-g(1)}{h}=\dfrac{2+3h+2h^2-2}{h}=\dfrac{h(3+2h)}{h}=3+2h$

$g'(1)=\lim_{h\to 0}(3+2h)=3$

La derivada de $g(x)$ en $x=1$ vale $3$.