Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un empresario quiere dedicar 50 horas laborables a cursos de formación para sus empleados y está considerando dos tipos de cursos de formación (F1 y F2). El curso F1 es más atractivo para sus empleados y cada hora de curso conseguiría aumentar la productividad de la empresa en un 1%, mientras que el curso F2, es menos atractivo para los empleados, pero mejoraría la productividad en un 2%. El empresario decide dedicar al menos 20 horas al curso F1 y no más de 35 horas al curso F2. Además, los empleados solicitan que se dedique al curso F1 una cantidad igual o superior de horas que al curso F2. ¿Cuántas horas se debería dedicar a cada curso de formación si se desea maximizar el aumento de la productividad?

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si considerando las preferencias de los empleados, el empresario modifica su idea inicial y decide no dedicar más de 10 horas al curso de formación F2. (2 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a las horas dedicadas al curso F1 e $y$ a las dedicadas al curso F2.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Horas}$	$\text{Aumento de productividad (\%)}$
Curso F1 (x)	x	x
Curso F2 (y)	y	2y
Totales	x+y	x+2y

La función objetivo que se desea maximizar es el aumento de la productividad:

$P(x,y)=x+2y$

Las restricciones del problema son:

Se dedican 50 horas laborables a los cursos $\Rightarrow$ $x+y\leq 50$.

Se dedican al menos 20 horas al curso F1 $\Rightarrow$ $x\geq 20$.

Se dedican no más de 35 horas al curso F2 $\Rightarrow$ $y\leq 35$.

Se dedica al curso F1 una cantidad igual o superior de horas que al F2 $\Rightarrow$ $x\geq y$.

Las horas no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $y\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+y\leq 50 \\ x\geq 20 \\ y\leq 35 \\ x\geq y \\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente.}\ (4\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$x+y=50$, $x=20$ y $y=x$.

La restricción $y\leq 35$ no llega a cortar a la región: de $y\leq x$ y $x+y\leq 50$ se deduce $2y\leq 50$, es decir, $y\leq 25$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$: $x=20$ con $y=0$ $\Rightarrow A(20,0)$.

Vértice $B$: $y=0$ con $x+y=50$ $\Rightarrow B(50,0)$.

Vértice $C$:

$\begin{cases} y=x \\ x+y=50 \end{cases} \Rightarrow 2x=50 \Rightarrow C(25,25)$

Vértice $D$: $x=20$ con $y=x$ $\Rightarrow D(20,20)$.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$P(20,0)=20$

$P(50,0)=50$

$P(25,25)=25+50=75$

$P(20,20)=20+40=60$

El aumento máximo de productividad se produce en el vértice $C(25,25)$.

El empresario debería dedicar 25 horas al curso F1 y 25 horas al curso F2, con lo que la productividad de la empresa aumentaría un 75 %.

$\textbf{iii) Analice gráficamente qué ocurriría si considerando las preferencias de los empleados, el empresario modifica su idea inicial y decide no dedicar más de 10 horas al curso de formación F2.}\ (2\ \text{puntos})$

La restricción $y\leq 35$ se sustituye por $y\leq 10$, que sí corta a la región y la recorta por arriba.



Los vértices nuevos son:

$\begin{cases} y=10 \\ x+y=50 \end{cases} \Rightarrow C'(40,10); \qquad \begin{cases} x=20 \\ y=10 \end{cases} \Rightarrow D'(20,10)$

La condición $x\geq y$ se cumple ahora automáticamente, porque $x\geq 20$ y $y\leq 10$. Se valora la productividad en los vértices de la nueva región:

$P(20,0)=20$

$P(50,0)=50$

$P(40,10)=40+20=60$

$P(20,10)=20+20=40$

El óptimo se desplazaría al vértice $C'(40,10)$: se dedicarían 40 horas al curso F1 y 10 al F2, y el aumento de productividad bajaría del 75 % al 60 %. Es lo esperable, porque la restricción nueva limita justamente el curso que más productividad aporta por hora.