Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

En una encuesta realizada a 300 jóvenes navarros entre los 18 y los 30 años, 180 contestaron que utilizaban habitualmente una determinada red social.

i) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que no utilizan dicha red social, con un nivel de confianza del 96%. (5 puntos)

ii) Con los datos de esa muestra se ha calculado el siguiente intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usan habitualmente la red social: $[0.544563,\ 0.655437]$. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

$\textbf{i) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que no utilizan dicha red social, con un nivel de confianza del 96 \%.}\ (5\ \text{puntos})$

De los 300 jóvenes encuestados, 180 utilizan la red social, luego no la utilizan $300-180=120$.

$\hat{p}=\dfrac{120}{300}=0{,}4$

El intervalo de confianza para una proporción es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}},\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 96 % se tiene $\alpha=0{,}04$, luego $\alpha/2=0{,}02$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}02=0{,}98 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}05$



$E=2{,}05\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}4\cdot 0{,}6}{300}}=2{,}05\cdot\sqrt{0{,}0008}=2{,}05\cdot 0{,}0283=0{,}0580$

Los extremos del intervalo son:

$0{,}4-0{,}0580=0{,}3420$

$0{,}4+0{,}0580=0{,}4580$

El intervalo de confianza al 96 % para la proporción de jóvenes que no utilizan la red social es $(0{,}3420;\ 0{,}4580)$.

$\textbf{ii) Con los datos de esa muestra se ha calculado el siguiente intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usan habitualmente la red social: } \boldsymbol{[0{,}544563,\ 0{,}655437]}\textbf{. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta.}\ (5\ \text{puntos})$

El centro del intervalo es la proporción muestral de los que sí usan la red social:

$\hat{p}=\dfrac{0{,}544563+0{,}655437}{2}=0{,}6$

que coincide con $\dfrac{180}{300}=0{,}6$, como debía ser.

El error máximo es la semiamplitud:

$E=\dfrac{0{,}655437-0{,}544563}{2}=\dfrac{0{,}110874}{2}=0{,}055437$

Se despeja el valor crítico de la expresión del error máximo:

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}} \Rightarrow 0{,}055437=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}6\cdot 0{,}4}{300}}=z_{\alpha/2}\cdot 0{,}0283$

$z_{\alpha/2}=\dfrac{0{,}055437}{0{,}0283}=1{,}96$

Se busca ese valor en la tabla de la normal estándar:

$P(Z<1{,}96)=0{,}975 \Rightarrow 1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}975 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}025 \Rightarrow \alpha=0{,}05$



El nivel de confianza del intervalo es $1-\alpha=0{,}95$, es decir, del 95 %.