Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Se considera que el 4% de los deportistas federados consumen algún tipo de sustancia no permitida para mejorar su rendimiento. Se ha diseñado una nueva prueba de detección con dos posibles resultados: positivo y negativo. La prueba identifica correctamente el consumo de estas sustancias el 92% de los casos. Sin embargo, si un deportista no consume estas sustancias, la prueba da positivo en el 10% de los casos. Se selecciona un deportista al azar. Calcule (use 4 decimales):

i) La probabilidad de que obtenga un resultado positivo en la prueba. (3 puntos)

ii) La probabilidad de que sea consumidor y la prueba tenga resultado negativo. (3 puntos)

iii) La probabilidad de que no sea consumidor sabiendo que la prueba ha dado resultado negativo. (4 puntos)

$\textbf{i) La probabilidad de que obtenga un resultado positivo en la prueba.}\ (3\ \text{puntos})$

Se nombran los sucesos $C \equiv$ ser consumidor de sustancias no permitidas y $P \equiv$ dar positivo en la prueba. Del enunciado:

$P(C)=0{,}04;\qquad P(P/C)=0{,}92;\qquad P(P/\overline{C})=0{,}10$

Se hace un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(P)=P(C)P(P/C)+P(\overline{C})P(P/\overline{C})=0{,}04\cdot 0{,}92+0{,}96\cdot 0{,}10$

$P(P)=0{,}0368+0{,}0960=0{,}1328$

La probabilidad de obtener un resultado positivo en la prueba es $0{,}1328$.

$\textbf{ii) La probabilidad de que sea consumidor y la prueba tenga resultado negativo.}\ (3\ \text{puntos})$

Es la probabilidad de una rama del árbol, la de un consumidor al que la prueba no detecta.

$P(C\cap\overline{P})=P(C)\cdot P(\overline{P}/C)=0{,}04\cdot 0{,}08=0{,}0032$

La probabilidad de que sea consumidor y la prueba dé negativo es $0{,}0032$.

$\textbf{iii) La probabilidad de que no sea consumidor sabiendo que la prueba ha dado resultado negativo.}\ (4\ \text{puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes.

$P(\overline{C}/\overline{P})=\dfrac{P(\overline{C})\cdot P(\overline{P}/\overline{C})}{P(\overline{P})}$

El denominador es el suceso contrario del apartado i):

$P(\overline{P})=1-P(P)=1-0{,}1328=0{,}8672$

$P(\overline{C}/\overline{P})=\dfrac{0{,}96\cdot 0{,}90}{0{,}8672}=\dfrac{0{,}8640}{0{,}8672}=0{,}9963$

Sabiendo que la prueba ha dado negativo, la probabilidad de que el deportista no sea consumidor es $0{,}9963$: la prueba es muy fiable cuando descarta.