Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Dada la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$, responda a las siguientes cuestiones:

i) Determine el valor de los parámetros $a$ y $b$ de forma que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 1$ y la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$ tenga pendiente $m = -2$. (4 puntos)

ii) Tomando los valores $a = -2$ y $b = -4$, determine los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función $f(x)$. (6 puntos)

$\textbf{i) Determine el valor de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ de forma que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ y la recta tangente a la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ tenga pendiente } \boldsymbol{m = -2}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

Las dos condiciones se traducen en dos ecuaciones sobre la derivada, porque un extremo relativo anula la derivada y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada.

$f'(x)=3x^2+2ax+b$

Extremo relativo en $x=1$:

$f'(1)=0 \Rightarrow 3+2a+b=0$

Pendiente $-2$ en $x=0$:

$f'(0)=-2 \Rightarrow b=-2$

Se sustituye en la primera ecuación:

$3+2a-2=0 \Rightarrow 2a=-1 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}$

Los parámetros son $a=-\dfrac{1}{2}$ y $b=-2$.

$\textbf{ii) Tomando los valores } \boldsymbol{a = -2}\textbf{ y } \boldsymbol{b = -4}\textbf{, determine los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}\ (6\ \text{puntos})$

Con esos valores la función queda

$f(x)=x^3-2x^2-4x+1$

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f'(x)=3x^2-4x-4=(3x+2)(x-2)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-\dfrac{2}{3} \\[4pt] x=2 \end{cases}$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos:

$f'(-1)=3+4-4=3>0$, la función crece.

$f'(0)=-4<0$, la función decrece.

$f'(3)=27-12-4=11>0$, la función crece.



La función crece en $\left(-\infty,-\dfrac{2}{3}\right)\cup(2,+\infty)$ y decrece en $\left(-\dfrac{2}{3},2\right)$.

En $x=-\dfrac{2}{3}$ la derivada pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo relativo:

$f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{8}{27}-\dfrac{8}{9}+\dfrac{8}{3}+1=\dfrac{67}{27}\approx 2{,}48$

En $x=2$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo:

$f(2)=8-8-8+1=-7$

La curvatura la da el signo de la segunda derivada.

$f''(x)=6x-4$

$f''(x)=0 \Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$

$f''(0)=-4<0$, la función es cóncava.

$f''(1)=2>0$, la función es convexa.



La función es cóncava en $\left(-\infty,\dfrac{2}{3}\right)$ y convexa en $\left(\dfrac{2}{3},+\infty\right)$.

Como la segunda derivada cambia de signo en $x=\dfrac{2}{3}$, ahí hay un punto de inflexión:

$f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{8}{27}-\dfrac{8}{9}-\dfrac{8}{3}+1=-\dfrac{61}{27}\approx -2{,}26$

El punto de inflexión es $\left(\dfrac{2}{3},-\dfrac{61}{27}\right)$.