Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

i) Calcule la derivada de la siguiente función: $y = \dfrac{3}{(2x-3)^2} + \ln(2x^4-3)$ (3 puntos)

ii) Calcule la siguiente integral: $\displaystyle\int (\operatorname{sen} 2x + e^{x/5})\,dx$ (3 puntos)

iii) Calcule la siguiente integral: $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x}{2x^2+1}\,dx$ (4 puntos)

$\textbf{i) Calcule la derivada de la siguiente función: } \boldsymbol{y = \dfrac{3}{(2x-3)^2} + \ln(2x^4-3)}\ (3\ \text{puntos})$

Se escribe el primer sumando como una potencia de exponente negativo para derivarlo con la regla de la cadena.

$y=3\,(2x-3)^{-2}+\ln\left(2x^4-3\right)$

$\left(3\,(2x-3)^{-2}\right)'=3\cdot(-2)(2x-3)^{-3}\cdot 2=\dfrac{-12}{(2x-3)^3}$

Para el segundo sumando se aplica $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$:

$\left(\ln\left(2x^4-3\right)\right)'=\dfrac{8x^3}{2x^4-3}$

Sumando los dos resultados:

$y'=\dfrac{-12}{(2x-3)^3}+\dfrac{8x^3}{2x^4-3}$

$\textbf{ii) Calcule la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int (\operatorname{sen} 2x + e^{x/5})\,dx}\ (3\ \text{puntos})$

Se integra sumando a sumando, ajustando en cada uno la constante que falta.

$\int\operatorname{sen}2x\,dx=\dfrac{1}{2}\int 2\operatorname{sen}2x\,dx=-\dfrac{1}{2}\cos 2x$

$\int e^{x/5}\,dx=5\int\dfrac{1}{5}e^{x/5}\,dx=5e^{x/5}$

Sumando:

$\int\left(\operatorname{sen}2x+e^{x/5}\right)dx=-\dfrac{1}{2}\cos 2x+5e^{x/5}+C$

$\textbf{iii) Calcule la siguiente integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x}{2x^2+1}\,dx}\ (4\ \text{puntos})$

El numerador es, salvo la constante 4, la derivada del denominador, así que la integral es de tipo logarítmico.

$\dfrac{d}{dx}\left(2x^2+1\right)=4x$

$\int\dfrac{x}{2x^2+1}\,dx=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{4x}{2x^2+1}\,dx=\dfrac{1}{4}\ln\left|2x^2+1\right|$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_1^2\dfrac{x}{2x^2+1}\,dx=\left[\dfrac{1}{4}\ln\left(2x^2+1\right)\right]_1^2 =\dfrac{1}{4}\ln 9-\dfrac{1}{4}\ln 3$

$=\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{9}{3}=\dfrac{1}{4}\ln 3\approx 0{,}2747$