Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa fabrica dos productos P1 y P2, con un coste de fabricación de 20 y 15 euros/kg, respectivamente. Para ello utiliza tres recursos (R1, R2 y R3). La siguiente tabla muestra la cantidad necesaria de cada recurso para obtener un kg de cada producto y la disponibilidad semanal de los recursos. Determine cuántos kg de cada producto deberá fabricar semanalmente esta empresa si desea minimizar el coste de producción, garantizando un nivel de fabricación total de al menos 30 kg.

	P1	P2	Disponibilidad semanal R1	6	3	180 R2	4	5	200 R3	1	1.5	70

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si la fabricación del producto P2 se encarece y su coste pasa a ser 20 euros/kg. (2 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a los kilogramos semanales del producto P1 e $y$ a los del producto P2.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Recurso R1}$	$\text{Recurso R2}$	$\text{Recurso R3}$	$\text{Coste (€)}$
Producto P1 (x)	6x	4x	x	20x
Producto P2 (y)	3y	5y	1{,}5y	15y
Totales	6x+3y	4x+5y	x+1{,}5y	20x+15y

La función objetivo que se desea minimizar es el coste semanal de producción:

$C(x,y)=20x+15y$

Las restricciones del problema son:

Del recurso R1 se dispone de 180 unidades semanales $\Rightarrow$ $6x+3y\leq 180$, que simplificando entre 3 queda $2x+y\leq 60$.

Del recurso R2 se dispone de 200 unidades semanales $\Rightarrow$ $4x+5y\leq 200$.

Del recurso R3 se dispone de 70 unidades semanales $\Rightarrow$ $x+1{,}5y\leq 70$.

Se garantiza una fabricación total de al menos 30 kg $\Rightarrow$ $x+y\geq 30$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 2x+y\leq 60 \\ 4x+5y\leq 200 \\ x+1{,}5y\leq 70 \\ x+y\geq 30 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente.}\ (4\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$2x+y=60$, $4x+5y=200$ y $x+y=30$.

La restricción del recurso R3 no llega a cortar a la región: en el punto donde más se consume, $(0,40)$, el gasto es $0+1{,}5\cdot 40=60$, por debajo de las 70 unidades disponibles.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$: $x=0$ con $x+y=30$ $\Rightarrow A(0,30)$.

Vértice $B$: $y=0$ con $x+y=30$ $\Rightarrow B(30,0)$.

Vértice $C$:

$\begin{cases} 2x+y=60 \\ 4x+5y=200 \end{cases}$

Se despeja $y=60-2x$ en la primera y se sustituye en la segunda:

$4x+5(60-2x)=200 \Rightarrow 300-6x=200 \Rightarrow x=\dfrac{50}{3} \Rightarrow y=\dfrac{80}{3} \Rightarrow C\left(\dfrac{50}{3},\dfrac{80}{3}\right)$

Vértice $D$: $x=0$ con $4x+5y=200$ $\Rightarrow D(0,40)$.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del mínimo:

$C(0,30)=15\cdot 30=450$

$C(30,0)=20\cdot 30=600$

$C\left(\dfrac{50}{3},\dfrac{80}{3}\right)=\dfrac{1000+1200}{3}=\dfrac{2200}{3}\approx 733{,}33$

$C(0,40)=15\cdot 40=600$

El coste mínimo se produce en el vértice $A(0,30)$.

La empresa debe fabricar semanalmente 0 kg del producto P1 y 30 kg del producto P2, con un coste mínimo de 450 euros.

$\textbf{iii) Analice gráficamente qué ocurriría si la fabricación del producto P2 se encarece y su coste pasa a ser 20 euros/kg.}\ (2\ \text{puntos})$

La región factible no cambia, porque las restricciones son las mismas. Lo que cambia es la función objetivo, que pasa a ser

$C(x,y)=20x+20y=20\,(x+y)$

Ahora las rectas de nivel $20(x+y)=k$ son paralelas a la restricción $x+y=30$, que es justamente la arista que une los vértices $A(0,30)$ y $B(30,0)$. Se valora la nueva función objetivo en los vértices:

$C(0,30)=600$

$C(30,0)=600$

$C\left(\dfrac{50}{3},\dfrac{80}{3}\right)=\dfrac{2600}{3}\approx 866{,}67$

$C(0,40)=800$

Los dos vértices $A$ y $B$ dan el mismo valor mínimo, así que la solución deja de ser única: cualquier reparto que fabrique exactamente los 30 kg exigidos es óptimo, y el coste mínimo pasaría de 450 a 600 euros semanales.