Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se considera la siguiente matriz dependiente del parámetro real $k$:

$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & k \\ k & 1 & k \end{pmatrix}$

i) Determine los valores de $k$ para los cuales $A$ no tiene inversa. (2 puntos)

ii) Para $k = 1$, calcule la matriz inversa de $A$. (5 puntos)

iii) Para $k = 0$, calcule $(A - 2A^t)^2$. (3 puntos)

$\textbf{i) Determine los valores de } \boldsymbol{k}\textbf{ para los cuales } \boldsymbol{A}\textbf{ no tiene inversa.}\ (2\ \text{puntos})$

Una matriz cuadrada no tiene inversa cuando su determinante vale cero, así que se calcula el determinante en función del parámetro.

Se desarrolla por la primera fila:

$|A|= \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & k \\ k & 1 & k \end{vmatrix} =-1\begin{vmatrix} -1 & k \\ 1 & k \end{vmatrix} -2\begin{vmatrix} 3 & k \\ k & k \end{vmatrix} +0$

$|A|=-1\left(-k-k\right)-2\left(3k-k^2\right)=2k-6k+2k^2=2k^2-4k$

Se busca cuándo se anula:

$2k^2-4k=0 \Rightarrow 2k(k-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} k=0 \\ k=2 \end{cases}$

La matriz $A$ no tiene inversa para $k=0$ y para $k=2$.

$\textbf{ii) Para } \boldsymbol{k = 1}\textbf{, calcule la matriz inversa de A.}\ (5\ \text{puntos})$

Con $k=1$ la matriz es

$A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Se calcula la inversa por el método de los adjuntos.

1) El determinante, con la expresión del apartado anterior:

$|A|=2\cdot 1^2-4\cdot 1=-2\neq 0$

2) La matriz de los adjuntos:

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\[6pt] -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\[6pt] \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 4 \\ -2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

3) Su traspuesta:

$\left(\operatorname{Adj}(A)\right)^t= \begin{pmatrix} -2 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & -5 \end{pmatrix}$

4) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left(\operatorname{Adj}(A)\right)^t =-\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & -5 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -4 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

$\textbf{iii) Para } \boldsymbol{k = 0}\textbf{, calcule } \boldsymbol{(A - 2A^t)^2}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Con $k=0$ la matriz y su traspuesta son

$A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix};\qquad A^t=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Se calcula la diferencia:

$A-2A^t= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 6 & 0 \\ 4 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Elevar al cuadrado es multiplicar la matriz por sí misma:

$\left(A-2A^t\right)^2= \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\left(A-2A^t\right)^2= \begin{pmatrix} 1+4+0 & -4-4+0 & 0+8+0 \\ -1-1+0 & 4+1-2 & 0-2+0 \\ 0-1+0 & 0+1+0 & 0-2+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -8 & 8 \\ -2 & 3 & -2 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$