Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

El consumo energético mensual (en kWh) de los hogares de una región sigue una distribución normal con varianza 400. Se elige una muestra de 64 hogares, obteniéndose una suma total del consumo de 17280 kWh.

i) Calcule un intervalo de confianza al 92% para el consumo energético medio en hogares. (5 puntos)

ii) Determine el tamaño de la muestra necesario para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo se reduzca a la mitad. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

$\textbf{i) Calcule un intervalo de confianza al 92 \% para el consumo energético medio en hogares.}\ (5\ \text{puntos})$

La población es normal y la varianza poblacional es conocida, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

De la varianza se obtiene la desviación típica:

$\sigma=\sqrt{400}=20$

La media muestral se obtiene dividiendo la suma total del consumo entre el número de hogares:

$\overline{x}=\dfrac{17280}{64}=270$

Con un nivel de confianza del 92 % se tiene $\alpha=0{,}08$, luego $\alpha/2=0{,}04$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}04=0{,}96 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}75$



$E=1{,}75\cdot\dfrac{20}{\sqrt{64}}=1{,}75\cdot\dfrac{20}{8}=1{,}75\cdot 2{,}5=4{,}375$

Los extremos del intervalo son:

$270-4{,}375=265{,}625$

$270+4{,}375=274{,}375$

El intervalo de confianza al 92 % para el consumo energético medio es $(265{,}625;\ 274{,}375)$ kWh.

$\textbf{ii) Determine el tamaño de la muestra necesario para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo se reduzca a la mitad.}\ (5\ \text{puntos})$

El error máximo es

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha/2}$ y $\sigma$ se mantienen, de modo que el error es inversamente proporcional a $\sqrt{n}$. Para reducirlo a la mitad hay que duplicar $\sqrt{n}$, es decir, multiplicar el tamaño de la muestra por 4.

Se comprueba despejando. El nuevo error es $E'=\dfrac{E}{2}=\dfrac{4{,}375}{2}=2{,}1875$ y

$n'=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E'}\right)^2=\left(\dfrac{1{,}75\cdot 20}{2{,}1875}\right)^2=16^2=256$

Habría que tomar una muestra de 256 hogares, cuatro veces la inicial.