Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Una empresa vende tres productos (A, B y C) que distribuye a sus clientes a través de dos empresas de transporte (Trans y Logis). El año pasado, la empresa realizó 1500 ventas y encargó a Trans el 60% del reparto y a Logis el 40%. El 20% de los productos distribuidos por Trans fueron tipo A, el 50% fueron tipo B y el 30% tipo C. Para la empresa Logis, estos porcentajes fueron 40%, 35% y 25%, respectivamente.

i) Se selecciona al azar una venta realizada el año pasado. Calcule la probabilidad de que sea un producto tipo B y distribuido por Trans. (3 puntos)

ii) Se selecciona al azar una venta realizada el año pasado. Sabiendo que es un producto tipo C, calcule la probabilidad de que fuera distribuido por Logis. (4 puntos)

iii) Se seleccionan al azar (sin reemplazamiento) dos ventas realizadas el año pasado. Calcule la probabilidad de que las dos ventas fueran distribuidas por Trans. (3 puntos)

$\textbf{i) Se selecciona al azar una venta realizada el año pasado. Calcule la probabilidad de que sea un producto tipo B y distribuido por Trans.}\ (3\ \text{puntos})$

Se nombran los sucesos $T \equiv$ ser distribuido por Trans, $L \equiv$ ser distribuido por Logis, y $A$, $B$ y $C$ los tres tipos de producto.

Se hace un diagrama de árbol.



La probabilidad pedida es la de una rama del árbol, así que se multiplican las dos probabilidades que la componen:

$P(B\cap T)=P(T)\cdot P(B/T)=0{,}60\cdot 0{,}50=0{,}30$

La probabilidad de que la venta sea de un producto tipo B distribuido por Trans es $0{,}30$.

$\textbf{ii) Se selecciona al azar una venta realizada el año pasado. Sabiendo que es un producto tipo C, calcule la probabilidad de que fuera distribuido por Logis.}\ (4\ \text{puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes.

$P(L/C)=\dfrac{P(L)\cdot P(C/L)}{P(C)}$

Por el teorema de la probabilidad total:

$P(C)=P(T)P(C/T)+P(L)P(C/L)=0{,}60\cdot 0{,}30+0{,}40\cdot 0{,}25=0{,}18+0{,}10=0{,}28$

$P(L/C)=\dfrac{0{,}10}{0{,}28}=\dfrac{5}{14}\approx 0{,}3571$

Sabiendo que el producto es de tipo C, la probabilidad de que lo distribuyera Logis es $\dfrac{5}{14}\approx 0{,}3571$.

$\textbf{iii) Se seleccionan al azar (sin reemplazamiento) dos ventas realizadas el año pasado. Calcule la probabilidad de que las dos ventas fueran distribuidas por Trans.}\ (3\ \text{puntos})$

De las 1500 ventas del año pasado, Trans distribuyó el 60 %, es decir,

$0{,}60\cdot 1500=900$ ventas.

Al no haber reemplazamiento, la segunda extracción se hace sobre 1499 ventas de las que quedan 899 de Trans.

$P(T_1\cap T_2)=\dfrac{900}{1500}\cdot\dfrac{899}{1499}=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{899}{1499}=\dfrac{2697}{7495}$

La probabilidad de que las dos ventas fueran distribuidas por Trans es $\dfrac{2697}{7495}\approx 0{,}3598$.